[論文レビュー] Harmonic morphisms between Weyl spaces and twistorial maps II

E. Loubeau, Radu Pantilie|ArXiv.org|Oct 23, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は滑らかさのカテゴリーにおけるほぼツイスター構造およびツイスター写像を導入し、既知のツイスター構成を統一する。4次元および3次元のウェイリ空間間の調和的写像がツイスター写像によって特徴づけられることを確立し、引き戻し接続とウェイリ構造を用いた調和的写像の幾何的特徴づけを提供する。

ABSTRACT

We define, on smooth manifolds, the notions of almost twistorial structure and twistorial map, thus providing a unified framework for all known examples of twistor spaces. The condition of being harmonic morphisms naturally appears among the geometric properties of submersive twistorial maps between low-dimensional Weyl spaces endowed with a nonintegrable almost twistorial structure due to Eells and Salamon. This leads to the twistorial characterisation of harmonic morphisms between Weyl spaces of dimensions four and three. Also, we give a thorough description of the twistorial maps with one-dimensional fibres from four-dimensional Weyl spaces endowed with the almost twistorial structure of Eells and Salamon.

研究の動機と目的

• 滑らかさのカテゴリーにおけるツイスター理論を一般化するために、ほぼツイスター構造およびツイスター写像を導入すること。
• 反自己双対な計量的多様体およびアインシュタイン＝ウェイリ空間から得られる既存のツイスター空間の例を統一すること。
• ツイスター写像を用いてウェイリ空間間の調和的写像の幾何的特徴づけを確立すること。
• 引き戻しによるウェイリ接続の条件を満たす水平に等角的な部分被覆写像がいつ調和的写像となるかを提供すること。

提案手法

• 多様体上にほぼツイスター構造を定義する。これは、部分多様体Nとその正規バンドル上の線形CR構造Jのペア(N, J)として定義される。
• ツイスター写像を定義する。これは、定義域のツイスター（上記の意味で）を終域のツイスターに写像する滑らかな写像として定義される。
• 4次元ウェイリ空間に、接バンドル上の正の直交的複素構造のバンドルを用いてほぼツイスター構造を構成する。
• 3次元ウェイリ空間に、ウェイリ接続と双対ラインバンドルの切断を用いてほぼツイスター構造を構成する。
• 複素構造バンドル上の接続の引き戻しを用いてツイスター写像を特徴づける。
• ウェイリ接続の引き戻しと曲率項の条件を通じて、ツイスター写像と調和的写像の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素ツイスター構造の滑らかさのカテゴリーにおける類似物は何であり、既知の例を統一するにはどうすればよいか？
• RQ2 ウェイリ空間間の水平に等角的な部分被覆写像がいつ調和的写像となるか？
• RQ3 4次元と3次元のウェイリ空間間の調和的写像はどのようにツイスター写像を用いて特徴づけられるか？
• RQ4 ウェイリ接続およびその引き戻しは、調和的写像のツイスター的特徴づけにおいてどのような役割を果たすか？
• RQ5 ウェイリ空間間の写像がいつツイスター写像を誘導するか。必要な十分条件は何か？

主な発見

• 4次元ウェイリ空間M⁴と3次元ウェイリ空間N³の間の水平に等角的な部分被覆写像φ: M⁴ → N³が調和的写像であるための必要十分条件は、N³上の正の複素構造バンドルの接続を引き戻したものが、M⁴上のウェイリ接続によって誘導される接続と一致することである。
• φにおけるツイスター的条件は、φが調和的写像であり、N³上のウェイリ構造の引き戻しが双対ラインバンドルの切断kを含む特定の曲率条件を満たすことと同値である。
• 捩れのないウェイリ接続Dᴹを備えた4次元ウェイリ空間において、写像φがツイスター的であるための必要十分条件は、M⁴上の正の複素構造バンドルの接続が、N³上のウェイリ構造に関連する接続の引き戻しであることである。
• リーマン多様体間のキリング型調和的写像の場合、条件はk = 0に簡略化され、N³上のリーマン接続の引き戻しがM⁴上の誘導接続と一致することに帰着する。
• 調和的写像のツイスター的リフトの存在は、基底空間上のウェイリ接続と切断kの整合性に同値である。
• 本構成は、適切なkと接続の選択のもとでツイスター的条件を満たすギブンズ＝ホーキングおよびベルトラミ場の調和的写像を含む既知の例を一般化する。