[論文レビュー] Selfdual Einstein metrics and conformal submersions

David M. J. Calderbank|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、1次元の繊維をもつ共形な垂直射影をフレームワークとして用いて、自己双対なエインシュタイン4次元多様体の構成のための、ジョーンズ＝トッド対応の一般化を提示する。Weyl微分とWeyl-Lie微分を導入することで幾何学を統一的かつ簡略化し、『アフィン』および『射影的』モノポール方程式を通じて、自己双対なエインシュタイン計量の明示的構成を可能にする。これにより、任意の正則関数または調和関数から、連続的対称性をもたない新しい計量が得られる。

ABSTRACT

Weyl derivatives, Weyl-Lie derivatives and conformal submersions are defined, then used to generalize the Jones-Tod correspondence between selfdual 4-manifolds with symmetry and Einstein-Weyl 3-manifolds with an abelian monopole. In this generalization, the conformal symmetry is replaced by a particular kind of conformal submersion with one dimensional fibres. Special cases are studied in which the conformal submersion is holomorphic, affine, or projective. All scalar-flat Kahler metrics with such a holomorphic conformal submersion, and all four dimensional hypercomplex structures with a compatible Einstein metric, are obtained from solutions of the resulting ``affine monopole equations''. The ``projective monopole equations'' encompass Hitchin's twistorial construction of selfdual Einstein metrics from three dimensional Einstein-Weyl spaces, and lead to an explicit formula for carrying out this construction directly. Examples include new selfdual Einstein metrics depending explicitly on an arbitrary holomorphic function of one variable or an arbitrary axially symmetric harmonic function. The former generically have no continuous symmetries.

研究の動機と目的

• 自己双対なエインシュタイン4次元多様体にKilling場が存在する場合に限らない、1次元の繊維をもつ共形な垂直射影を用いたより広いクラスへのジョーンズ＝トッド対応の拡張を図ること。
• 共形な垂直射影とそれらが関係するエインシュタイン＝Weyl幾何学を研究するための幾何的枠組みを、Weyl微分とWeyl-Lie微分を用いて構築すること。
• 結合された微分方程式の解を用いて、自己双対なエインシュタイン計量、特に連続的対称性をもたない計量の明示的構成を提供すること。
• Hitchinのtwistor的構成による自己双対なエインシュタイン計量を明示的な公式で特徴づけ、一般化された枠組みの特別な場合として同定すること。
• アフィン的および射影的共形な垂直射影に基づく共通の形式的枠組みの下で、スカラー平坦なケーラー計量およびハイパーカンプレックス計量の既知の構成を統一すること。

提案手法

• 実ラインバンドル上の共変微分としてのWeyl微分を導入し、計量代表元を固定しない共形幾何学のゲージ不変な形式的枠組みを提供する。
• 自然バンドル上のWeyl-Lie微分を定義し、計量代表元を固定しない共形幾何学における対称性や変換の研究を可能にする。
• 1次元の繊維をもつ共形な垂直射影にこの形式的枠組みを適用し、底空間がエインシュタイン＝Weyl構造を誘導することを示す。
• 『アフィンモノポール方程式』を、自己双対なエインシュタイン計量に相性のよいスカラー平坦なケーラー構造やハイパーカンプレックス構造をもたらす、結合された線形偏微分方程式系として導出する。
• 『射影的モノポール方程式』を、非線形なSL(2,R)エインシュタイン＝Weylボゴモルニ方程式として導入し、Hitchinの構成を一般化する。
• Hitchin＝LeBrun構成の明示的公式を提示し、任意のエインシュタイン＝Weyル3次元多様体から直接的に自己双対なエインシュタイン計量を計算可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョーンズ＝トッド対応をKilling対称性を超えて、1次元の繊維をもつ共形な垂直射影に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 全空間が自己双対なエインシュタイン4次元多様体であるような共形な垂直射影を介して、底空間にどのような幾何的構造が生じるか？
• RQ3 Hitchin＝LeBrun構成による自己双対なエインシュタイン計量を、微分方程式系を通じて明示的に表現できるか？
• RQ4 Weyl微分とWeyl-Lie微分は、共形な垂直射影の幾何学とそれに関連する構造の簡略化にどのような役割を果たすか？
• RQ5 アフィン的および射影的共形な垂直射影は、連続的対称性をもたない自己双対なエインシュタイン計量の新しいクラスをどのように導くか？

主な発見

• 1次元の繊維をもつ自己双対な共形な垂直射影の底空間が、エインシュタイン＝Weyル3次元多様体であることが示された。これはジョーンズ＝トッド対応を一般化する。
• 底空間における非せん断性の測地的束は、正則な共形な垂直射影に対応し、スカラー平坦なケーラー計量およびハイパーカンプレックス構造をもたらす。
• アフィン的共形な垂直射影は、『アフィンモノポール方程式』と呼ばれる線形微分方程式系によって特徴づけられ、これにより自己双対なエインシュタイン計量に相性のよいスカラー平坦なケーラー構造やハイパーカンプレックス構造が生成される。
• 射影的共形な垂直射影は『射影的モノポール方程式』——非線形なSL(2,R)エインシュタイン＝Weyルボゴモルニ方程式——を導き、Hitchinの構成はその特別な場合である。
• Hitchin＝LeBrun構成の明示的公式が導出され、任意のエインシュタイン＝Weyル3次元多様体から直接的に自己双対なエインシュタイン計量を計算可能となった。
• 任意の1変数正則関数または軸対称な調和関数から、一般に連続的対称性をもたない新しい自己双対なエインシュタイン計量が構成された。