[論文レビュー] $\hat{G}$-invariant quasimorphisms and symplectic geometry of surfaces

Morimichi Kawasaki, Mitsuaki Kimura|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、群 $Ģ{G}$ の正規部分群 $G$ 上における $Ģ{G}$-不変クェーシモーフィズムを導入し、$(Ģ{G},G)$-交換子長に対するバヴァールド型双対性を確立する。この枠組みをシンプレクティック幾何学に応用し、高 genus の曲面上でのフラックス準同型のセクションの非存在を証明するとともに、パイのカルラクェーシモーフィズムとエントフ＝ポルテリヴィッチの部分カルラクェーシモーフィズムが、全シンプレクティズム群への拡張が不可能であることを示す。

ABSTRACT

Let $\hat{G}$ be a group and $G$ its normal subgroup. In this paper, we study $\hat{G}$-invariant quasimorphisms on $G$ which appear in symplectic geometry and low dimensional topology. As its application, we prove the non-existence of a section of the flux homomorphism on closed surfaces of higher genus. We also prove that Py's Calabi quasimorphism and Entov-Polterovich's partial Calabi quasimorphism are non-extendable to the group of symplectomorphisms. We show that Py's Calabi quasimorphism is the unique non-extendable quasimorphism to some group.

研究の動機と目的

• 群 $Ģ{G}$ の正規部分群 $G$ 上における $Ģ{G}$-不変クェーシモーフィズムの理論を構築し、シンプレクティックトポロジーおよび低次元トポロジーへの応用を念頭に置く。
• バヴァールドの双対性に類似した双対定理を確立し、$(Ģ{G},G)$-交換子長と $Ģ{G}$-不変クェーシモーフィズムを関連付ける。
• 特にシンプレクティック群とフラックス準同型の文脈において、クェーシモーフィズムの拡張問題を扱う。
• $g \geq 2$ の閉曲面上でのフラックス準同型にセクションが存在しないことを、$Ģ{G}$-不変クェーシモーフィズムの構造を用いて証明する。
• パイのカルラクェーシモーフィズムとエントフ＝ポルテリヴィッチの部分カルラクェーシモーフィズムが、シンプレクティズム群へは拡張できないことを示し、パイのクェーシモーフィズムが特定のクラスにおいて一意の非拡張可能なものであることを示す。

提案手法

• $Ģ{G}$-不変クェーシモーフィズムを、$G$ 上の同次クェーシモーフィズムで、$Ģ{G}$ の元による共役作用に関して不変であるものとして定義し、その「不純度」を $D(\phi)$ で測る。
• $x \in [\u0122{G},G]$ に対して、$(\u0122{G},G)$-交換子長 $\mathrm{cl}_{\u0122{G},G}(x)$ を定義し、標準的交換子長を $\u0122{G}$ の共役を含む形に一般化する。
• バヴァールド型双対性を証明する：$\mathrm{scl}_{\u0122{G},G}(x) = \sup_{\phi \in Q(G)^{\u0122{G}}} \frac{1}{2} \frac{|\phi(x)|}{D(\phi)}$ であり、安定 $(\u0122{G},G)$-交換子長と $\u0122{G}$-不変クェーシモーフィズムを結びつける。
• 有界コホモロジーにおける7項完全列を用い、$Q(G)^{\u0122{G}}$ を $H^2(H;\mathbb{R})$ と関連付ける。ここで $H = \u0122{G}/G$ であり、$Q(G)^{\u0122{G}}/Q(\u0122{G})$ から $H^2(H;\mathbb{R})$ への写像 $\tau_{\u0122{G}}$ が単射であることを示す。
• 双対性およびコホモロジー的道具をシンプレクティック多様体、特に曲面に適用し、フラックス準同型 $\mathrm{Flux}_\omega: \mathrm{Symp}_0(M,\omega) \to H^1(M;\mathbb{R})/\Gamma_\omega$ を用いる。
• $H^1(M;\mathbb{R})/\Gamma_\omega$ のアメニタリティと $\mathrm{Ham}(M,\omega)$ の完全性を活用し、$\u0122{G}$-不変クェーシモーフィズムの空間を制約し、非拡張可能性の結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定 $(\u0122{G},G)$-交換子長とは何か？ そして $\u0122{G}$-不変クェーシモーフィズムとはどのように関係するか？
• RQ2 $G$ 上のクェーシモーフィズムが $\u0122{G}$ へ拡張可能となる条件は何か？ また、いつその拡張が不可能となるか？
• RQ3 $g \geq 2$ の閉曲面のシンプレクティズム群上でのフラックス準同型にはセクションが存在するか？
• RQ4 パイのカルラクェーシモーフィズムとエントフ＝ポルテリヴィッチの部分カルラクェーシモーフィズムは、全シンプレクティズム群へ拡張可能か？
• RQ5 特定のシンプレクティック曲面において、パイのカルラクェーシモーフィズムは $\u0122{G}$-不変クェーシモーフィズムの空間内で唯一の非拡張可能なものか？

主な発見

• 本稿は、$(\u0122{G},G)$-交換子長に対してバヴァールド型双対性を確立する：$\mathrm{scl}_{\u0122{G},G}(x) = \sup_{\phi \in Q(G)^{\u0122{G}}} \frac{1}{2} \frac{|\phi(x)|}{D(\phi)}$ が $x \in [\u0122{G},G]$ に対して成り立つ。
• 写像 $\tau_{\u0122{G}}$ の単射性と $H^2(H;\mathbb{R})$ の構造を用いて、$g \geq 2$ の閉曲面上でのフラックス準同型にセクションが存在しないことを証明する。
• $\mathrm{Ham}(\Sigma,\omega)$ 上のパイのカルラクェーシモーフィズムは、$\mathrm{Symp}_0(\Sigma,\omega)$ へは拡張できないことが示され、そのクラス内で唯一の非拡張可能なものである。
• エントフ＝ポルテリヴィッチの部分カルラクェーシモーフィズムもシンプレクティズム群へは拡張できないことが示され、それがより大きな群に対する内在的不変性を裏付ける。
• コホモロジー的手段により、$H \cong \mathbb{Z}^N$ のとき、空間 $Q(\mathrm{Ham}(M,\omega))^{\u0122{G}}/Q(\u0122{G})$ の次元が $N(N-1)/2$ 以下であることが示される。
• genus $g \geq 2$ の曲面 $\Sigma$ に対して、空間 $Q(\mathrm{Ham}(\Sigma,\omega))^{\hat{G}_0}/Q(\hat{G}_0)$ の次元は最大で1であり、$[\mu_P]$ が非自明であることから、正確には1である。これにより、非拡張可能クェーシモーフィズムの一意性が証明される。