[論文レビュー] Quasi-morphisms and quasi-states in symplectic topology

Michael Entov|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 50被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティックトポロジーにおけるシンプレクティック自己同型群上の準準同型および滑らかな関数代数上の準状態を導入・研究し、$C^0$-剛性、ハミルトニアン力学、およびポアソン括弧の性質を明らかにする役割を果たす。主な貢献は、非自明な幾何学的・力学的現象（例えばホーファー距離や他のハミルトニアン距離の非有界性、スペクトル不変量の$C^0$-連続性）を検出できるカルラ準準同型およびシンプレクティック準状態の構成にある。

ABSTRACT

This is a survey about certain "almost homomorphisms" and "almost linear" functionals (called quasi-morphisms and quasi-states) in symplectic topology and their applications to Hamiltonian dynamics, functional-theoretic properties of Poisson brackets and algebraic and metric properties of symplectomorphism groups.

研究の動機と目的

• シンプレクティックトポロジーにおける隠れた剛性を解明するための道具として、準準同型および準状態を発展・応用すること。
• 関数論的性質に着目し、$C^0$-連続性とスペクトル不変量を通じてポアソン括弧の性質を理解すること。
• シンプレクティック準状態と量子状態の類似性を通じて、シンプレクティックトポロジーと量子力学との関係を探索すること。
• 部分カルラ準準同型を用いて、シンプレクティック自己同型群上でのハミルトニアンノルム（例：$ orm{ullet}_{U,0}$ および $ orm{ullet}_{U}$）の非有界性を確立すること。
• ポアソン代数の関数論的性質を通じて幾何的構造を研究する新しい手法としてのシンプレクティック関数論の基盤を築くこと。

提案手法

• 量子ホモロジーとスペクトル不変量を用いて、ハミルトニアン群の普遍被覆上での一様準準同型を構成する。
• フォン・ノイマンの量子状態にインspiredして、$C^inity(M)$ 上の関数的としてのシンプレクティック準状態を定義する。これらは一様的、正値的、可換関数で加法的である。
• カルラ準準同型とシンプレクティック準状態の関係を用いて、スペクトル不変量およびノルムの$C^0$-連続性を証明する。
• 部分カルラ準準同型を用いて、重い閉集合 $X$ と $Y$ が互いに近接領域を有する場合、$ orm{ullet}_{U}$ が ${ m Ham}(M)$ 上で非有界であることを示す。
• 準準同型の$C^0$-連続性を用いて、${ m Ham}(B^{2n})$ 上でのホーファー距離が$C^0$-連続であることを証明する。
• 平均化技術とポアソン代数における関数論的手法を用いて、ハミルトニアン力学およびスペクトルプロファイルを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック準状態および準準同型は、ハミルトニアン力学における$C^0$-剛性現象を検出できるか？
• RQ2 スペクトル不変量の$C^0$-連続性と、シンプレクティック自己同型群上での準準同型の存在との関係は何か？
• RQ3 部分カルラ準準同型は、${ m Ham}(M)$ 上でのハミルトニアンノルムの非有界性をどのように示すか？
• RQ4 $C^inity(M)$ 上のシンプレクティック準状態は、どの程度量子力学的構造を反映しており、線形状態とはどのように異なるか？
• RQ5 ポアソン括弧の関数論的考察を通じて、どのような幾何的・力学的現象が明らかにできるか？

主な発見

• カルラ準準同型が${ m Ham}(B^{2n})$上で$C^0$-連続であるため、$igracevert orm{ullet}_{H} igracevert \text{ は } C^0\text{-位相において閉じている}$。
• ホーファー距離が${ m Ham}(B^{2n})$上で$C^0$-連続であるため、任意の $c \neq 0$ に対して、$igracevert orm{ullet}_{H} igracevert \text{ は } C^0\text{-位相において空でない内部を持つ}$。
• 部分カルラ準準同型が存在し、互いに近接領域を有する重い閉集合 $X$ と $Y$ が存在する場合、$ orm{ullet}_{U}$ は ${ m Ham}(M)$ 上で非有界である。
• 任意の可変な開集合 $U$ に対して、カルラ準準同型が存在するならば、$ orm{ullet}_{U,0}$ は ${ m Ham}(M)$ 上で非有界である。
• スペクトル不変量に関連するプロファイル関数 $ ho(t)$ は $t \to 0$ のとき$C^0$-剛性を示すが、その幾何的意味はまだ明確でない。
• シンプレクティック準状態は$C^0$-連続であり、${ m Symp}_0(M)$ の作用に関して不変であり、部分カルラ準準同型の双対性から生じる。