[論文レビュー] 'Hausdorff distance' via conical cocompletion

Isar Stubbe|ArXiv.org|Mar 16, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、量的モノイド豊饒圏において、飽和クラスの重みが、自由共完備化 KZ 構成の完全部分-KZ 構成とちょうど一致することを確立している。特に、円錐的重みはそのようなクラスを形成する。得られる KZ 構成は、豊饒余極限と随伴条件を用いて一般化された距離構造を提供するカテゴリカルな基盤を提供する。この構成は、量的モノイド豊饒圏へのハウスドルフ距離の一般化を実現する。

ABSTRACT

In the context of quantaloid-enriched categories, we explain how each saturated class of weights defines, and is defined by, an essentially unique full sub-KZ-doctrine of the free cocompletion KZ-doctrine. The KZ-doctrines which arise as full sub-KZ-doctrines of the free cocompletion, are characterised by two simple "fully faithfulness" conditions. Conical weights form a saturated class, and the corresponding KZ-doctrine is precisely (the generalisation to quantaloid-enriched categories of) the Hausdorff doctrine of [Akhvlediani et al., 2009].

研究の動機と目的

• 量的モノイド豊饒圏における飽和重みクラスを、自由共完備化 KZ 構成の完全部分-KZ 構成によって特徴付けること。
• KZ 構成が完全部分-KZ 構成として生じるための必要十分条件（2つの「完全忠実性」性質として表現）を同定すること。
• 円錐的重みが飽和クラスを形成することを示し、一般化されたハウスドルフ構成を導出すること。
• 豊饒圏論におけるハウスドルフ距離構成のカテゴリカルな枠組みを、距離空間を超えて提供すること。
• 本稿では扱わないが、自己対合的量的モノイドにおけるグロモフ距離への拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• KZ 構成およびその完全部分-KZ 構成の理論を用いて、量的モノイド豊饒圏における共完備化プロセスを特徴付ける。
• 各クラスが豊饒余極限の普遍性を通じて一意に KZ 構成を定義する、飽和重みクラスの概念を適用する。
• 量的モノイド豊饒圏の2-圏における随伴性条件を用いて、「完全忠実性」性質を定義し、関連する KZ 構成を特徴付ける。
• 一般枠組みとしての円錐的共完備化を適用し、円錐的重みが Hausdorff 構成に同型な KZ 構成を生成することを示す。
• 左随伴成分をもつ分配関手はコーシー・プレシェーブに一致することを用い、そのようなプレシェーブの類が飽和的であることを証明する。
• 自由共完備化の普遍性および量的モノイドにおける sup-完備格子の構造を活用し、飽和クラスと KZ 構成との対応を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの KZ 構成が、量的モノイド豊饒圏における自由共完備化 KZ 構成の完全部分-KZ 構成として生じるか？
• RQ2 量的モノイド豊饒圏における飽和重みクラスは、どのように KZ 構成によって特徴付けられるか？
• RQ3 豊饒圏におけるハウスドルフ距離の背後にあるカテゴリカル構造は何か？ そして、距離空間を超えてどのように一般化されるか？
• RQ4 円錐的重み構成が飽和クラスを定義することを示し、それがどのような KZ 構成を生成するか？
• RQ5 量的モノイド豊饒圏上の KZ 構成が、本質的構造を保存する意味で完全忠実であるための条件は何か？

主な発見

• 量的モノイド豊饒圏における各飽和重みクラスは、自由共完備化 KZ 構成の完全部分-KZ 構成として一意に定まり、逆にそのような構成からも一意に定まる。
• 自由共完備化 KZ 構成の完全部分-KZ 構成として生じる KZ 構成は、その成分に関して2つの単純な「完全忠実性」条件によって特徴付けられる。
• 円錐的重みの類は飽和的であり、それに対応する KZ 構成は、もともと可換量的モノイドに対して定義されたハウスドルフ構成を一般化する。
• 得られるハウスドルフ KZ 構成は、円錐的重みクラスに制限すると、各圏をそのコーシー完備化に写す。これは豊饒圏論における既知の構成と整合する。
• この枠組みは、一般化された距離設定におけるハウスドルフ距離のカテゴリカル基盤を提供し、ラヴェールの距離空間の豊饒化を量的モノイド豊饒圏へ拡張する。
• 本稿は、飽和クラスから KZ 構成を導出する一般的手法を確立し、円錐的重みを主要な例として提示する。また、自己対合的量的モノイドにおいては、グロモフ距離が同様の枠組みで構築可能である可能性を示唆する。