[論文レビュー] hbar-Dependent KP hierarchy

Kanehisa Takasaki, Takashi Takebe|arXiv (Cornell University)|May 4, 2011

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ドレッシング作用素 W = exp(X/ℏ) と波動関数 Ψ = exp(S/ℏ) の ℏ 展開を用いて、ℏ に依存する KP シリーズの解の再帰的構成を提示する。Xₙ および Sₙ の係数に対する明示的な再帰関係を確立し、τ 関数が log τ = ℏ⁻²F₀ + ℏ⁻¹F₁ + F₂ + ⋯ の形に ℏ 展開可能であることを示し、F₀ が分散なし極限解から再帰的に定まることが示される。

ABSTRACT

This is a summary of a recursive construction of solutions of the hbar-dependent KP hierarchy. We give recursion relations for the coefficients X_n of an hbar-expansion of the operator X = X_0 + \hbar X_1 + \hbar^2 X_2 + ... for which the dressing operator W is expressed in the exponential form W = \exp(X/\hbar). The asymptotic behaviours of (the logarithm of) the wave function and the tau function are also considered.

研究の動機と目的

• 古典的（分散なし）極限を超えて、ℏ に依存する KP シリーズの解を体系的に構成するための手法を開発すること。
• ドレッシング作用素 W = exp(X/ℏ) の ℏ 展開における係数を再帰的に計算する手順を確立すること。
• 波動関数 Ψ = exp(S/ℏ) の対応する ℏ 展開を導出し、全記号計算を用いてドレッシング作用素と関連付けること。
• τ 関数が log τ = ℏ⁻²F₀ + ℏ⁻¹F₁ + F₂ + ⋯ の形に ℏ 展開可能であり、Fₙ が低次の項から再帰的に定まることが示されること。
• 可積分系における高次の ℏ 細 corrections と量子化された正準変換との間の枠組みを提供すること。

提案手法

• X = ∑ₙ₌₀^∞ ℏⁿXₙ を用いた W = exp(X/ℏ) の指数形のパrametrization を用い、ℏ 展開技術を可能にする。
• Aoki の「指数的微分作用素の計算」を用いて、exp(X/ℏ) の全記号と位相関数 S = ∑ₙ₌₀^∞ ℏⁿSₙ を関連付ける。
• Lax 方程式および可換作用素 f, g に対して [f,g] = ℏ を満たす条件から、Xₙ の再帰関係を導出する。
• 波動関数 Ψ = W exp((xz + ζ(t,z))/ℏ) 及びその WKB 形式 Ψ = exp(S/ℏ) を用い、対数微分を介して τ 関数の ℏ 展開を導出する。
• 全記号写像 σ_tot を用いて、作用素レベルの関係を Sₙ および Xₙ の係数に対する微分方程式に翻訳する。
• Fₙ の再帰的決定に用いる系 ∂Fₙ/∂tⱼ = vₙ,ⱼ + ∑_{k+l=j} (1/l) ∂vₙ₋₁,ₗ/∂tₖ を導出する。ここで vₙ,ⱼ は Sₙ(z) = −∑ₖ z⁻ᵏ vₙ,ₖ / k の係数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℏ に依存する KP シリーズの解は、分散なし極限を超えてどのように体系的に構成可能か？
• RQ2 ドレッシング作用素 W = exp(X/ℏ) の ℏ 展開係数 Xₙ を支配する再帰的関係は何か？
• RQ3 波動関数の WKB 形式 Ψ = exp(S/ℏ) は、X の ℏ 展開における係数 Xₙ とどのように関連するか？
• RQ4 τ 関数の ℏ 展開の構造は何か？ その係数 Fₙ はどのように再帰的に定まるか？
• RQ5 位相関数 S の係数 Sₙ は、作用素 X の係数 Xₙ とどのように関係するか？

主な発見

• X の ℏ 展開における係数 Xₙ は、分散なし KP シリーズの解に対応する X₀ から再帰的に定まる。
• 波動関数 Ψ は WKB 形式 Ψ = exp(S/ℏ) を持ち、S = ∑ₙ₌₀^∞ ℏⁿSₙ と書ける。係数 Sₙ は全記号計算を用いて Xₙ から再帰的に定まる。
• 位相関数 Sₙ は、微分作用素の指数的微分作用素計算を用いて、X₀, ..., Xₙ から明示的に定まる。
• τ 関数は log τ = ℏ⁻²F₀ + ℏ⁻¹F₁ + F₂ + ⋯ の形に ℏ 展開可能であり、Fₙ は系 ∂Fₙ/∂tⱼ = vₙ,ⱼ + ∑_{k+l=j} (1/l) ∂vₙ₋₁,ₗ/∂tₖ を用いて再帰的に計算可能である。
• Sₙ(z) = −∑ₖ z⁻ᵏ vₙ,ₖ / k の展開における係数 vₙ,ⱼ は、波動関数のローラン級数の係数と関連し、Fₙ の再帰的決定に寄与する。
• この枠組みにより、ℏ に依存する KP シリーズの解とその ℏ 展開との間の一対一対応が確立される。出発点は分散なし極限である。