[論文レビュー] The eta-invariant, Maslov index, and spectral flow for Dirac-type operators on manifolds with boundary

Paul Kirk, Matthias Lesch|ArXiv.org|Dec 15, 2000

Advanced Operator Algebra Research被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、境界を持つ多様体上のディラック作用素の$η$-不変量に対する新しいグリューニング公式を確立し、カルデロン射影子と境界射影子を含むマスロフ三重インデックスを用いて整数補正項を表現する。この公式は、スペクトルフロー、マスロフインデックス、$η$-不変量を結びつける幾何学的内在的公式を提供し、アティヤ＝パトディ＝シンガーの$ρ$-不変量および非加法性定理への応用を含む。

ABSTRACT

Several proofs have been published of the Mod Z gluing formula for the eta-invariant of a Dirac operator. However, so far the integer contribution to the gluing formula for the eta-invariant is left obscure in the literature. In this article we present a gluing formula for the eta-invariant which expresses the integer contribution as a triple index involving the boundary conditions and the Calderon projectors of the two parts of the decomposition. The main ingredients of our presentation are the Scott-Wojciechowski theorem for the determinant of a Dirac operator on a manifold with boundary and the approach of Bruning-Lesch to the mod Z gluing formula. Our presentation includes careful constructions of the Maslov index and triple index in a symplectic Hilbert space. As a byproduct we give intuitively appealing proofs of two theorems of Nicolaescu on the spectral flow of Dirac operators. As an application of our methods, we carry out a detailed analysis of the eta-invariant of the odd signature operator coupled to a flat connection using adiabatic methods. This is used to extend the definition of the Atiyah-Patodi-Singer rho-invariant to manifolds with boundary. We derive a ``non-additivity'' formula for the Atiyah-Patodi-Singer rho-invariant and relate it to Wall's non-additivity formula for the signature of even-dimensional manifolds.

研究の動機と目的

• 長年の疑問であった$η$-不変量グリューニング公式における整数寄与項の任意の選択に依存しない内在的表現を達成すること。
• スペクトルフローとマスロフインデックスをシンプレクティックヒルベルト空間枠組みで統合する幾何学的に自然な$η$-不変量の公式を提供すること。
• アディアバティック法を用いて、境界を持つ多様体へのアティヤ＝パトディ＝シンガー$ρ$-不変量の拡張を実現し、非加法性公式を導出すること。
• 新フレームワークを用いてニコラエスクのスペクトルフロー定理を概念的に単純で直感的な証明を与えること。
• 平坦接続を伴う奇数次元符号作用素をアディアバティックストレッチングにより解析し、$L^2$解とラグランジュ部分空間の役割を明確にすること。

提案手法

• 境界付き多様体上のディラック作用素における行列式恒等式に関するスコット＝ヴォイエフチコウスキーの定理を用いる。
• Brüning–Leschのアプローチを$η$-不変量mod $Т$のグリューニング公式に適用し、精製された整数補正項を定義する。
• 射影子とラグランジュ部分空間を用いて、シンプレクティックヒルベルト空間設定においてマスロフインデックスと三重インデックスを構成する。
• コラールのアディアバティックストレッチングを用いて、境界幾何の変形に伴う$η$-不変量の挙動を解析する。
• カルデロン射影子と境界射影子$P$を用いて、ディラック作用素の自己共役拡張を定義する。
• 一パrameter族作用素$D_{P_t}$のスペクトルフローを用いて、整数補正項を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $η$-不変量グリューニング公式における整数寄与項を、任意の選択に依存しない形でどのように表現できるか？
• RQ2 境界付き多様体上のディラック作用素の文脈において、マスロフインデックス、スペクトルフロー、$η$-不変量の正確な関係は何か？
• RQ3 境界条件が補完的射影子でない場合、$η$-不変量はどのようにグリューニングに応じて振る舞うか？
• RQ4 アティヤ＝パトディ＝シンガー$ρ$-不変量を境界付き多様体に拡張できるか？その振る舞いを支配する非加法性公式は何か？
• RQ5 $L^2$解$M^+$および$M^-$における$η$-不変量の加法性の失敗に、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 整数補正項は、幾何学的に内在的なマスロフ三重インデックス$\tau_{\mu}(I-P_{M^{-}}, P, P_{M^{+}})$として表現され、$\widetilde{\eta}(D,M) = \widetilde{\eta}(D_{P},M^{+}) + \widetilde{\eta}(D_{I-P},M^{-}) + \mathrm{SF}(D_{P_t},M^{+}) + \mathrm{SF}(D_{I-P_t},M^{-})$という公式が任意の$P \in \mathrm{Gr}(A)$に対して成り立ち、スペクトルフロー項が整数寄与項を捉えている。
• 平坦接続を伴う奇数次符号作用素に対しては、スペクトルフロー項は位相的に消え、定理8.5による追加の制御のおかげで、$W_{\pm} \oplus \gamma(W^{\perp}_{\pm})$のシンプレクティック不変量も消える。
• もし$L^{\infty}_{M^{-}} \cap L^{\infty}_{M^{+}} = 0$であれば、十分大きな$r$に対して$\widetilde{\eta}(D,M_r) = \widetilde{\eta}(D,M^{+};F^{+}_{\nu} \oplus W_{+} \oplus \gamma(W_{+}^{\perp}) \oplus V_{+}) + \widetilde{\eta}(D,M^{-};F^{-}_{\nu} \oplus W^{\perp}_{+} \oplus \gamma(W_{+}) \oplus \gamma(V_{+}))$が成り立つ。
• アティヤ＝パトディ＝シンガー境界条件を用いた$η$-不変量の加法性の失敗は、スペクトルフローの差$\mathrm{SF}(D,M^{-}_{r};F^{+}\oplus V_{+}) - \mathrm{SF}(D,M_{r})$によって測定され、$r \geq r_0$のとき成り立つ。
• アティヤ＝パトディ＝シンガー$ρ$-不変量の非加法性公式は、偶数次元多様体の符号に関するウォールの非加法性定理と、ラグランジュ部分空間のシンプレクティック不変量を通じて関係づけられる。