[論文レビュー] Hecke algebras for inner forms of p-adic special linear groups

Anne‐Marie Aubert, Paul Baum+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$p$-進特殊線型群 $\mathrm{SL}_n(F)$ の内部形式の Bernstein 構成要素に対して、$\mathrm{GL}_n(F)$ の内部形式への制限を通じて Hecke 代数を構成する。$\mathrm{GL}_n(F)$ のタイプと、導来群 $G^\sharp$ への降下を用いることで、各 L-区別不能パケットの Bernstein 構成要素における複素数値滑らかな $G^\sharp$-表現のカテゴリと同値な、明示的な代数のモジュールカテゴリを示す。主な結果は、これらの Hecke 代数が型 $A$ のアフィン Hecke 代数に類似しているが、一般にはそのような代数と有限群によるクロス積とのモーリタ同値でないということである。

ABSTRACT

Let F be a non-archimedean local field and let $G^\sharp$ be the group of F-rational points of an inner form of $SL_n$. We study Hecke algebras for all Bernstein components of $G^\sharp$, via restriction from an inner form G of $GL_n (F)$. For any packet of L-indistinguishable Bernstein components, we exhibit an explicit algebra whose module category is equivalent to the associated category of complex smooth $G^\sharp$-representations. This algebra comes from an idempotent in the full Hecke algebra of $G^\sharp$, and the idempotent is derived from a type for G. We show that the Hecke algebras for Bernstein components of $G^\sharp$ are similar to affine Hecke algebras of type A, yet in many cases are not Morita equivalent to any crossed product of an affine Hecke algebra with a finite group.

研究の動機と目的

• 内部形式の $p$-進 $\mathrm{SL}_n(F)$ の表現理論を、Bernstein 構成要素に関連する Hecke 代数を用いて理解すること。
• 滑らかな複素数値 $G^\sharp$-表現のカテゴリと、明示的な Hecke 代数上のモジュールカテゴリとの間のモーリタ同値を構築すること。
• 得られる $G^\sharp$ の Hecke 代数が、型 $A$ のアフィン Hecke 代数に構造的に類似しているが、一般にはそのような代数と有限群によるクロス積とのモーリタ同値でないことを示すこと。
• $G = \mathrm{GL}_m(D)$ のタイプから $G^\sharp$ のタイプへの、idempotent を用いた Hecke 代数の降下手順を確立すること。

提案手法

• $\mathrm{GL}_n(F)$-表現のタイプの使用、特に Sécherre–Stevens による Bernstein 構成要素のタイプの構成。
• $D$ を $F$ 上の除法代数とするとき、$G = \mathrm{GL}_m(D)$ におけるタイプから導かれる、$G^\sharp$ の完全 Hecke 代数内の特別な idempotent の構成。
• 還元ノルム写像と中間群 $H^\sharp = G^\sharp Z(G)$ の構造を用いた、$G$ からその導来群 $G^\sharp$ への Hecke 代数の制限による降下。
• Bernstein ブロックの理論の適用と、Bernstein モルトゥルス $T_{\mathfrak{s}}$ および有限 Weyl 群 $W_{\mathfrak{s}}$ を用いた構成要素の分類。
• 射影的正規化子と干渉作用素を用いて、$G$ と $G^\sharp$ 間の表現を関連づけること、特に $I(\gamma, \pi)$ と $X^G({\mathfrak{s}}/\lambda)$ を通じて。
• $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{s}}$ を $\mathfrak{t}^\sharp \prec \mathfrak{s}$ に対する代数 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{t}^\sharp}$ の積として明示的に計算し、最終的な代数は $\mathcal{H}(G^\sharp)$ 内の idempotent から得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部形式 $G^\sharp$ の $\mathrm{SL}_n(F)$ の滑らかな複素数値表現のカテゴリは、Hecke 代数を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 Bernstein 構成要素 $\mathfrak{s}$ に関連する $G^\sharp$ の Hecke 代数 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{s}}$ の構造は何か？
• RQ3 これらの $G^\sharp$ の Hecke 代数は、どの程度型 $A$ のアフィン Hecke 代数とモーリタ同値であるか？
• RQ4 $G^\sharp$ の表現理論は、制限と idempotent の降下を用いて $G = \mathrm{GL}_m(D)$ の理論に還元可能か？
• RQ5 $G^\sharp$ の L-区別不能 Bernstein 構成要素どうしが、それらの Hecke 代数の観点からどのように関係しているか？

主な発見

• Bernstein 構成要素 $\mathfrak{s}$ の $G^\sharp$ の Hecke 代数 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{s}}$ は、$\mathcal{H}(G^\sharp)$ 内の idempotent から得られる特定の代数のモジュールカテゴリとモーリタ同値である。
• この代数は $G = \mathrm{GL}_m(D)$ のタイプから得られ、idempotent は $G$ の Hecke 代数から $G^\sharp$ への降下によって構成される。
• 得られる $G^\sharp$ の Hecke 代数は、型 $A$ のアフィン Hecke 代数に構造的に類似しているが、一般にはそのような代数と有限群によるクロス積とのモーリタ同値でない。
• $\mathrm{Rep}^\mathfrak{s}(G^\sharp)$ は、$\mathfrak{t}^\sharp \prec \mathfrak{s}$ でインデックス付けられた Bernstein ブロック $\mathrm{Rep}^{\mathfrak{t}^\sharp}(G^\sharp)$ の積に分解され、対応する Hecke 代数 $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{t}^\sharp}$ は $\mathcal{H}(G^\sharp)^{\mathfrak{s}}$ の最大の分解不能部分代数である。
• 任意の $G^\sharp$ の L-パケットに対して、関連する Hecke 代数が明示的に記述され、そのパケット内の滑らかな $G^\sharp$-表現のカテゴリとのモーリタ同値をもたらす。
• 例を通じて構成が検証され、タイプが $G^\sharp$ で共役であるが $G^1$ では共役でない場合の例が示され、降下過程における完全な群構造の必要性が示された。