[論文レビュー] Hecke and Galois Properties of Special Cycles on Unitary Shimura Varieties

Dimitar Jetchev|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$ に対するユニタリ Shimura 多様体上の特殊サイクルのオイラー系を構成し、Bruhat–Tits 木と局所 Hecke 代数を通じて、ヘッケ作用とガロア作用の間の明示的分布関係を確立する。主な貢献は、ユニタリ群上の自動形式に付随するガロア表現に対する Bloch–Kato–Beilinson 猜測の新たな事例を提供する、新しいオイラー系の構成である。

ABSTRACT

We define and study a collection of special cycles on certain non-PEL Shimura varieties for $U(2,1) imes U(1,1)$ that appear naturally in the context of the recent conjectures of Gan, Gross and Prasad on restrictions of automorphic forms for unitary groups and conjectural generalizations of the Gross--Zagier formula. We prove a combinatorial formula expressing the Galois action in terms of the distance function on the Bruhat--Tits buildings for these groups. In addition, we calculate explicitly the Hecke polynomial appearing in the congruence relation conjectured by Blasius and Rogawski. Using methods and recent results of Koskivirta, we prove the congruence relation in this case. Finally, using the action of the local Hecke algebra on the Bruhat--Tits building, we establish explicit relations (distribution relations) between the Hecke action and the Galois action on the special cycles. These relations are key for a work in progress by the author on constructing a new Euler system from these cycles and using it to prove instances of the Bloch{Kato{ Beilinson conjecture for certain Galois representations associated to automorphic forms on unitary groups.

研究の動機と目的

• 非 PEL 条件を満たすユニタリ Shimura 多様体に対する $\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$ の高次元特殊サイクルのオイラー系を構成すること。これは、Gross–Zagier および Gan–Gross–Prasad 猜測に動機付けられている。
• Bruhat–Tits 木の幾何学を用いて、局所 Hecke 代数作用とサイクル上のガロア作用の間の分布関係を確立すること。
• Blasius–Rogawski における合同関係のヘッケ多項式を、$\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$ の場合に明示的に計算すること。
• ガロア表現に付随する自動形式のための Selmer 群を研究し、Bloch–Kato–Beilinson 猜測の新たな事例を証明できる、新しいオイラー系を提供すること。
• $p$-進アーベル・ジャコビ写像とコホロロジー類を用いて、Kolyvagin 方式のオイラー系技法を高ランクユニタリ群へ一般化すること。

提案手法

• 符号 $(n-1,1)$ および $(n,0)$ のヘルミート空間を用いて、ユニタリ Shimura 多様体上の特殊サイクルを定義し、主として $n=3$ の場合を扱う。
• 固定された不分岐素点 $\tau$ における固定ユニフォーマルの距離関数を用いて、ガロア作用を Bruhat–Tits 木上の距離関数として表現する。
• 局所 Hecke 代数 $\mathcal{H}(G_\tau, K_\tau)$ を用いてサイクル上の作用を計算し、アーティン写像を通じてガロア共役と関連付ける。
• 局所 Hecke 代数と分解群の作用が可換であることを示し、ガロア共役サイクルの重複度が等しいことから、ヘッケ作用とガロア作用の間の分布関係を確立する。
• 局所導子 $\varpi^n$ を持つサイクルの正確なトレースを、Heegner 点理論における環類体のトレースに類似した方法で、トレース写像 $\operatorname{Tr}_{n,m}$ を用いて定義する。
• Satake 変換と再帰法則を適用し、得られたサイクルの組み合わせがトレース写像 $\operatorname{Tr}_{2,0}$ の像上にあることを確認することで、オイラー系の性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ Shimura 多様体上の特殊サイクルにおけるガロア作用は、固定された不分岐素点 $\tau$ における $\operatorname{\mathbf{U}}(V)\times\operatorname{\mathbf{U}}(W)$ の Bruhat–Tits 木を用いて、どのように幾何学的に表現できるか？
• RQ2 $\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$ の場合における Blasius–Rogawski 合同関係のヘッケ多項式の明示的形は何か？
• RQ3 局所 Hecke 代数と分解群の作用が、特殊サイクル上で分布関係を満たし、それがオイラー系を意味するか？
• RQ4 得られたサイクル類は、ユニタリ群上の自動形式に付随するガロア表現のセレマー群におけるコホモロジー類を構成するために使用できるか？
• RQ5 これらの関係は、Kolyvagin のヘッケン・ポイントのオイラー系を、高ランクユニタリ群へどの程度一般化できるか？

主な発見

• ガロア作用は、固定された不分岐素点 $\tau$ における $\operatorname{\mathbf{U}}(V)\times\operatorname{\mathbf{U}}(W)$ の Bruhat–Tits 木上の距離関数を用いて表現される。
• Blasius–Rogawski 合同関係におけるヘッケ多項式が、$\operatorname{\mathbf{U}}(2,1)\times\operatorname{\mathbf{U}}(1,1)$ の場合に明示的に計算され、具体的な算術的不変量が得られた。
• 局所 Hecke 代数と分解群の作用が可換であることから、ガロア共役サイクルの重複度が等しいことを示し、ヘッケ作用とガロア作用の間の分布関係を確立した。
• $\int_\tau(\xi) = (0,0)$ を満たすサイクル類 $\xi$ に対して、$H_\tau(1)\cdot\xi = \sum_{(a,b)} \sum_x m_{a,b}(x) \xi_{a,b}^{\operatorname{Art}_{E_\tau}(x)}$ が成り立ち、重複度 $m_{a,b}(x)$ が等しいことから、オイラー系の性質が証明された。
• 得られたサイクルの組み合わせは、トレース写像 $\operatorname{Tr}_{2,0}$ の像上にあり、オイラー系の条件が確認され、Bloch–Kato–Beilinson 猜測への応用が可能になった。
• 本構成により、セレマー群の研究や、ユニタリ群上の自動形式に付随するガロア表現に対する Bloch–Kato–Beilinson 猜測の新たな事例の証明に用いることのできる、新しいオイラー系が得られた。