[論文レビュー] Hedgehogs for neutral dissipative germs of holomorphic diffeomorphisms of $(\mathbb{C}^{2},0)$

Tanya Firsova, Mikhail Lyubich+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$(\mathbb{C}^2,0)$ 上の正則微分同相写像の半中立的不動点の周囲に、ヘッジホッグ（コンパクトで不変で、全域的である集合）の存在を確立する。トポロジー的手法、特に錐場、中心多様体、ブローウェルの領域論を用いて、線形化が失敗する場合でさえも、このようなヘッジホッグが存在することを証明する。これはペレス＝マルコの1次元ヘッジホッグ理論を高次元へ一般化するものである。

ABSTRACT

We prove the existence of hedgehogs for germs of complex analytic diffeomorphisms of $(\mathbb{C}^{2},0)$ with a semi-neutral fixed point at the origin, using topological techniques. This approach also provides an alternative proof of a theorem of Pérez-Marco on the existence of hedgehogs for germs of univalent holomorphic maps of $(\mathbb{C},0)$ with a neutral fixed point.

研究の動機と目的

• 1次元力学におけるコンパクトで不変な集合（ヘッジホッグ）の概念を、$(\mathbb{C}^2,0)$ 上の正則微分同相写像における半中立的不動点への設定へ拡張すること。
• 線形化が失敗する場合に、非自明でコンパクトで完全不変かつ全域的集合（ヘッジホッグ）が、そのような写像の局所的力学に存在することを確立すること。
• 先行研究で用いられた深い解析的円微分同相写像理論に依存しない、純粋なトポロジカルな証明を提供すること。
• 同一のトポロジカル枠組みを用いてペレス＝マルコの1次元ヘッジホッグ結果を再現し、そのより広範な適用可能性を示すこと。

提案手法

• 部分的双曲的力学に伴う不変錐場を用いる：縮小方向に沿った垂直錐 $\mathcal{C}^v_x$ と中立的方向に沿った水平錐 $\mathcal{C}^h_x$ を構成する。
• 安定方向への圧縮の支配性を用いて、中立的方向へのグラフとして局所的中心多様体 $W^c_{\rm loc}(0)$ を構成する。
• Le Roux の拡張補題を用い、Jordan 領域上の局所的同相写像 $f^q$ を、$\mathbb{S}^2$ 上の全域的同相写像に拡張し、固定点が2つだけであるようにする。
• ブローウェルの領域論とクロワッサン構造を用いて、球面モデルにおける移動領域を同定し、$f^q$ が移動として作用することを示す。
• 定理5.4から得られる吸引的・反発的クロワッサンの存在を活用し、近傍の境界にまで延長される不変集合を構成する。
• ヘッジホッグに属する点の強い安定多様体が垂直的類の正則円盤によるラミネーションをなしていることを証明し、集合の全域性と不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半中立的不動点をもつ2次元正則写像の設定において、コンパクトで不変で全域的集合（ヘッジホッグ）を構成することは可能か？
• RQ2 1次元力学で用いられたトポロジカル手法が、ヨコツの円微分同相写像理論に依存せずに、$\mathbb{C}^2$ におけるヘッジホッグの存在を証明するために拡張可能か？
• RQ3 線形化が失敗する半クリーマー不動点の近傍における不変集合の力学的構造は何か？
• RQ4 $f^q$ の動的挙動を球面上に全域的に拡張することで、移動領域や不変ペタル構造を明らかにできるか？
• RQ5 ブローウェルの直線とクロワッサンは、ヘッジホッグの構成およびその不変性・連結性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 原点の近傍に、コンパクトで連結で完全不変かつ全域的集合 $\mathcal{H} \subset \overline{B}$ が存在し、$\mathcal{H} \Subset W^c_{\rm loc}(0)$ を満たす。
• $\mathcal{H}$ は原点を含み、近傍 $B$ の境界と交わることから、非退化であることが保証される。
• $\mathcal{H}$ の各点は、明確に定義された局所的強い安定多様体 $W^{ss}_{\rm loc}(x)$ を持ち、それらの和集合は垂直的類の正則円盤によるラミネーションをなす。
• $\mathcal{H}$ の存在は、錐場、中心多様体理論、ブローウェルの領域構成といったトポロジカル手法によって確立される。
• 本証明は、クリーマー写像に対するペレス＝マルコの1次元ヘッジホッグ存在定理の代替的でトポロジカルな証明を提供する。
• $\mathbb{S}^2$ 上の $f^q$ の動的挙動は、$f^q$ が移動に共役されるブローウェルの領域 $U(\ell)$ を持ち、不変集合を境界にまで拡張可能である。