[論文レビュー] Heegner divisors, $L$-functions and harmonic weak Maass forms

Jan Hendrik Bruinier, Ken Ono|ArXiv.org|Oct 1, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 23被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、重さ1/2の調和的弱マース形式が、重さ2のモジュラーL関数の二乗字のtwistの中心値および中心導関数の生成関数として機能することを確立している。ボルツァークのリフトを調和的弱マース形式へ一般化することで、ねじれたヘーガー・ divisor を持つ第3種の微分形式が構成され、周期およびモジュラー曲線上のヤコビアン点を通じてフーリエ係数とL関数値および導関数が結びつけられる。

ABSTRACT

Recent works, mostly related to Ramanujan's mock theta functions, make use of the fact that harmonic weak Maass forms can be combinatorial generating functions. Generalizing works of Waldspurger, Kohnen and Zagier, we prove that such forms also serve as "generating functions" for central values and derivatives of quadratic twists of weight 2 modular $L$-functions. To obtain these results, we construct differentials of the third kind with twisted Heegner divisor by suitably generalizing the Borcherds lift to harmonic weak Maass forms. The connection with periods, Fourier coefficients, derivatives of $L$-functions, and points in the Jacobian of modular curves is obtained by analyzing the properties of these differentials using works of Scholl, Waldschmidt, and Gross and Zagier.

研究の動機と目的

• 半整数重形式に関する古典的なワルドスピュルガー、コニエン、ザギエの結果を調和的弱マース形式へ拡張すること。
• 調和的弱マース形式のフーリエ係数と、twistされたL関数の中心値・導関数との間の生成関数的関係を確立すること。
• ボルツァーク・リフトの構成を調和的弱マース形式へ一般化し、所望のねじれたヘーガー・divisor を持つ第3種の微分形式を生成すること。
• これらの形式のフーリエ係数が周期、L関数値、モジュラー曲線のヤコビアン上の点といった算術的不変量とどのように関連するかを明らかにすること。
• 非弱正則な調和的弱マース形式が、そのフーリエ係数を通じてL関数値とその導関数の両方を符号化できることを示すこと。

提案手法

• ボルツァーク・リフトを調和的弱マース形式へ一般化し、ねじれたヘーガー・divisor を持つ、メロモーフィックな第3種の微分形式を構成すること。
• $\xi_{1/2}$ 微分作用素を用いて、調和的弱マース形式を重さ3/2のモジュラー形式、特に基本的テータ級数と直交するカスプ形式へ関連付けること。
• 新井対応およびワルドスピュルガー型の公式を用い、マース形式のフーリエ係数と二乗字twistの中心L関数値・導関数とを結びつけること。
• スコール、ヴァルトシュミット、グロス–ザジエの周期およびL関数に関する結果を用いて、これらの微分形式の性質を分析すること。
• thetaリフトおよび数値計算を用いて、特にレベル37のモジュラー形式に対して、理論的予測を検証する具体的な例を構成すること。
• ベクトル値の調和的弱マース形式およびそのフーリエ展開を用い、L関数値および導関数の生成挙動をモデル化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重さ1/2の調和的弱マース形式は、重さ2のL関数の二乗字twistの中心値および中心導関数を両方生成できるか？
• RQ2 ボルツァーク・リフトの構成を調和的弱マース形式へ一般化し、ねじれたヘーガー・divisor を持つ微分形式を生成するにはどうすればよいか？
• RQ3 このような形式のフーリエ係数と、モジュラーL関数の中心L関数値または導関数との間の明確な算術的関係は何か？
• RQ4 非弱正則な調和的弱マース形式の係数が、L関数導関数の消滅や係数の有理数性といった算術的データをどの程度符号化しているか？
• RQ5 モジュラー曲線のヤコビアン点は、一般化されたボルツァーク・リフトを通じて、調和的弱マース形式のフーリエ係数とどのように関連するか？

主な発見

• 一般化されたボルツァーク・リフトを用いて、調和的弱マース形式のフーリエ係数が、重さ2のL関数の二乗字twistの中心値および中心導関数を両方生成することが示された。
• レベル37のモジュラー形式 $G_1$ に対して、中心導関数 $L'(G_1, \chi_{-139}, 1) = 0$ は、$f_1$ の正則部分における係数 $c^+(-139)$ の消滅に対応し、$c^+(-823) = -1$ は、ヤコビアンにおける $Z_{-823,19}$ の消滅に対応する。
• $f_{12}$ の係数 $c^+(-824)$ は約 $-322.9986$ であり、対応する $L'(G_1, \chi_{-824}, 1) \approx 17.5029$ は、定理7.8と整合的である。
• 数値計算の結果、$3f_1 - f_{12}$ が整数フーリエ係数を持つことが示唆され、これは $g_0$ のthetaリフトに関連する有理数構造を示している。
• $f_{12}$ は正則部分が $e(-12/(4\cdot37)\tau)\mathfrak{e}_{30} - e(-12/(4\cdot37)\tau)\mathfrak{e}_{-30}$ であるが、非消滅係数が、$\chi_{\Delta}$ によるtwistの予測された $L'$-値と一致する。
• $f_1$ における $c^+(-139)$ および $c^+(-823)$ の有理数性は、$X_0(37)$ のヤコビアンにおけるヘーガー・divisor の消滅と直接的に関連しており、算術的意義が確認された。