[論文レビュー] Height Estimates for Equidimensional Dominant Rational Maps

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$\overline{\mathbb{Q}}$ 上の準射影的多様体間の同次元で支配的な有理写像について、像の高さの下界を確立する。特に、そのような写像の下で、像の高さが、ゼロでないサブセット上で、元の高さに対して少なくとも線形に増加することを証明する。主な貢献は、$n$ と次数 $d$ のみに依存する、$\mathbb{P}^n$ の支配的自己有理写像の高さ拡張係数 $\mu(\varphi)$ の一様な下界を示すことである。この結果は、半アーベル多様体における特殊化定理への応用を持つ。

ABSTRACT

Let F : W --> V be a dominant rational map between quasi-projective varieties of the same dimension. We give two proofs that h_V(F(P)) >> h_W(P) for all points P in a nonempty Zariski open subset of W. For dominant rational maps F : P^n --> P^n, we give a uniform estimate in which the implied constant depends only on n and the degree of F. As an application, we prove a specialization theorem for equidimensional dominant rational maps to semiabelian varieties, providing a complement to Habegger's recent theorem on unlikely intersections.

研究の動機と目的

• 等次元の多様体間の同次元で支配的な有理写像の像の高さに対して下界を確立すること。
• このような写像に対して、高さ拡張係数 $\mu(\varphi)$ が正であることを証明し、それが非空な開集合上で、像の高さが元の高さに対して相対的に増加することを保証すること。
• 固定された次数 $d$ の $\mathbb{P}^n$ の支配的有理自己写像すべてに対して、$n$ と $d$ のみに依存する一様な $\mu(\varphi)$ の下界を提供すること。
• 高さ推定を用いて、半アーベル多様体における torsion 点への写像を持つ点の集合の高さが有界であることを示す特殊化定理を証明すること。

提案手法

• ネフでビッグなラインバンドルを用いた数値的基準（Siu の定理）を用いて、代数幾何的議論により第一の結果を証明する。
• 高さ関数の基本的性質と三角不等式のみを用いた、より初等的な証明を提示する。
• 有理写像 $\varphi: \mathbb{P}^n \dashrightarrow \mathbb{P}^n$ のための高さ関数 $h(\varphi)$ を導入し、境界が写像の次数と次元に依存する様子を定量化する。
• K3 表面上の力学系に Néron–Tate 高さ分解を適用し、$\mu(\varphi)$ の計算または推定を行う。
• Néron–Tate 高さ分解 $h_D = a\hat{h}^+ + b\hat{h}^-$ を用いて、$h_D(\varphi^n(P))$ の漸近的挙動を分析し、$\mu(\varphi^n)$ の境界を導出する。
• 主結果を応用して、半アーベル多様体 $G$ の torsion 点へ写像する $W$ の点の集合が、高さが有界であることを証明する。これは、torsion 点が $G$ 内で高さが有界であるという事実を利用している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支配的有理写像 $\varphi: W \dashrightarrow V$ について、$\dim W = \dim V$ のとき、$h_W(P)$ に対して $\varphi(P)$ の高さに下界を確立できるか？
• RQ2 次数 $d$ の $\mathbb{P}^n$ の支配的自己有理写像について、$n$ と $d$ のみに依存する正の定数によって $\mu(\varphi)$ が下から有界であるか？
• RQ3 高さ推定を用いて、半アーベル多様体への有理写像について、特に torsion 点に関して特殊化定理を証明できるか？
• RQ4 $\overline{\mu}_d(\mathbb{P}^n)$、すなわちすべての $\mathbb{P}^n$ の支配的次数 $d$ 自己写像の $\mu(\varphi)$ の下界の下限の正確な値またはタイトな推定値は何か？
• RQ5 高さ拡張係数は反復写像においてどのように振る舞い、特に高次元多様体の自己同型において指数関数的に減少する可能性はあるか？

主な発見

• 任意の $\overline{\mathbb{Q}}$ 上の準射影的多様体 $W, V$ 間の同次元で支配的な有理写像 $\varphi: W \dashrightarrow V$ に対して、空でないザリスキ開部分集合 $U \subset W$ が存在し、すべての $P \in U(\overline{\mathbb{Q}})$ に対して $h_V(\varphi(P)) \geq C_1 h_W(P) - C_2$ が成り立ち、$C_1 > 0$ である。
• 次数 $d$ の $\mathbb{P}^n$ の支配的自己有理写像 $\varphi: \mathbb{P}^n \dashrightarrow \mathbb{P}^n$ に対して、高さ拡張係数は $\mu(\varphi) \geq C_1 > 0$ を満たし、$C_1$ は $n$ と $d$ のみに依存し、すべてのこのような写像にわたって一様である。
• $\mathbb{P}^n$ の支配的次数 $d$ 自己写像すべての $\mu(\varphi)$ の下界である $\overline{\mu}_d(\mathbb{P}^n)$ は、すべての $n \geq 2$ および $d \geq 2$ に対して $\overline{\mu}_d(\mathbb{P}^n) \leq d^{-(n-1)}$ を満たす。これは、$d$ が増加するにつれて係数が任意に小さくなる可能性があることを示している。
• 特定の K3 表面の自己同型について、$\mu(\varphi^n) \leq (2 + \sqrt{3})^{-n}$ が成り立つ。これは、自己同型に対しても高さ拡張係数が指数関数的に減少しうることを示している。
• 半アーベル多様体 $G$ の torsion 点へ写像する点 $P \in W(\overline{\mathbb{Q}})$ の集合は、高さが有界である。これは、高さの下界と torsion 点の高さが有界であるという事実から導かれる。