[論文レビュー] Heights of varieties in multiprojective spaces and arithmetic Nullstellensatze

Carlos D’Andrea, Térésa Krick+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、算術的交差理論と標準的混合高さを用いて、多重射影空間内の多様体上での多項式の次数および高さに対する有効な上限を確立する。Jelonekの幾何的結果を算術的設定に拡張し、多様体上でのBézout恒等式に対して明示的な次数および高さの推定値を提供する。応用としては、暗黙的化および数体上の有効な代数幾何学に役立つ。

ABSTRACT

We present bounds for the degree and the height of the polynomials arising in some central problems in effective algebraic geometry including the implicitation of rational maps and the effective Nullstellensatz over a variety. Our treatment is based on arithmetic intersection theory in products of projective spaces and extends to the arithmetic setting constructions and results due to Jelonek. A key role is played by the notion of canonical mixed height of a multiprojective variety. We study this notion from the point of view of resultant theory and establish some of its basic properties, including its behavior with respect to intersections, projections and products. We obtain analogous results for the function field case, including a parametric Nullstellensatz.

研究の動機と目的

• 代数的多様体上での多重射影空間内のBézout恒等式における多項式の次数および高さに対する有効な上限を構築すること。
• 算術的交差理論を用いて、Jelonekの有効なNullstellensatzに関する幾何的結果を算術的設定に拡張すること。
• 特にQおよび関数体上で、射影空間の積内のサイクルの標準的混合高さを導入し、その性質を研究すること。
• 明示的な次数および高さ推定を伴うパラメトリックおよび強い算術的Nullstellensatzを確立すること。
• これらの上限を、暗黙的化および数体上の有効な代数幾何学の問題に応用すること。

提案手法

• 著者らは、算術的交差理論および結果式理論の道具を用いて、多重射影空間内のサイクルの標準的混合高さを定義し、その分析を行う。
• 消去理論および多重射影幾何における消去多項式と結果式の使用を通じて、暗黙方程式の高さに関する上限を確立する。
• この手法は、多項式を函数体に持ち上げ、パラメトリックNullstellensatzを適用し、係数抽出により整数的恒等式を抽出する。
• 主な技術的道具は、混合次数、複素多項式の測度、および係数の対数ノルムによる高さ推定である。
• 代数幾何学と算術幾何学を組み合わせたアプローチであり、特に多様体の標準的高さと結果式による次数上限を活用する。
• 係数および単項式のサポートのパラメータ化に依存し、Bézout恒等式における高さの成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q上のある与えられた多様体上で消えるBézout恒等式における多項式の有効な次数および高さの上限は何か？
• RQ2 射影空間の積内のサイクルの標準的混合高さは、その幾何的および算術的複雑さとどのように関係するか？
• RQ3 パラメトリックNullstellensatzを用いて、係数が変化する多様体上の多項式族に対して有効な上限を導出できるか？
• RQ4 多重射影空間内での有理写像において、暗黙方程式の高さはどのように振る舞うか？
• RQ5 多重射影幾何における混合次数および結果式は、有効なNullstellensatzの複雑さをどのように制御するか？

主な発見

• 純次元 $ r $ の多様体 $ V \subset \mathbb{A}^n(\overline{\mathbb{Q}}) $ および $ \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_n] $ 内の多項式 $ f_1, \dots, f_s $ について、$ s \leq r+1 $ かつ $ V $ 上に共通零点を持たないとき、$ V $ 上で $ \alpha = \sum g_i f_i $ を満たすBézout恒等式が存在し、$ \deg(g_i f_i) \leq \left( \prod_{j=1}^s d_j \right) \deg(V) $ を満たす。ここで $ d_j = \deg(f_j) $ である。
• $ \alpha $ および各 $ g_i $ の高さは、$ \operatorname{h}(\alpha), \operatorname{h}(g_i) + \operatorname{h}(f_i) \leq \left( d_s \prod_{j=1}^r d_j \right) \left( \widehat{h}(V) + \deg(V) \left( \frac{h_s}{d_s} + \sum_{\ell=1}^r \frac{h}{d_\ell} + 3r\log(s-r) + (6r+8)\log(n+3) \right) \right) $ を満たす。ここで $ h_j = \operatorname{h}(f_j) $ である。
• 本稿は、函数体上でのパラメトリックNullstellensatzを証明し、$ \mathbb{Z}[\mathbf{v}] $ に係数をもつ多項式族に対して、係数のサポートおよび次数に応じて制御可能な次数および高さでBézout恒等式を持ち上げられることを示す。
• 算術的強いNullstellensatzに対して、恒等式 $ \alpha g^\mu = \sum g_i f_i $ 上での $ \alpha $ および $ g_i $ の上限を導出し、$ \widehat{h}(V) $、$ \deg(V) $、および $ n $、$ d_j $、$ s $ に関する対数項を含む明示的な高さ制御を伴う。
• サイクルの標準的混合高さは、射影、交わり、および積に関して良好に振る舞い、結果式理論および混合次数を用いて特徴づけられる。
• 有理写像における暗黙方程式の高さは、入力写像の次数および高さの関数として有界であり、変数の数および係数サポートのサイズに明示的な依存関係を示す。