[論文レビュー] Heights, ranks and regulators of abelian varieties

Fabien Pazuki|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Faltings高さを不適切な還元素数および単射直径と関連付けることにより、数体上のアーベル多様体のモーデル・ヴェイユランクに対して、条件なしで明示的な上界を確立する。ラング＝シルバーマン高さ予想のもとで、有理点がザリスキー密な極小化されたアーベル多様体上の正規化子のノースコット性を証明し、主に極小化された場合の単純性仮定を、洗練された予想を用いて取り除く。

ABSTRACT

We lower bound the Faltings height of an abelian variety over a number field by the sum of its injectivity diameter and the norm of its bad reduction primes. It leads to an unconditional bound on the rank of Mordell-Weil groups. Assuming the height conjecture of Lang and Silverman, we then obtain a Northcott property for the regulator on the set of simple abelian varieties defined over a fixed number field, of fixed dimension $g$, bounded rank and with dense rational points over a number field. We remove the simplicity assumption in the principally polarized case by giving a refined version of the Lang-Silverman conjecture.

研究の動機と目的

• 数体上のアーベル多様体のモーデル・ヴェイユランクに対して、条件なしで明示的な上界を確立すること。
• ラング＝シルバーマン高さ予想のもとで、極小化されたアーベル多様体上の正規化子のノースコット性を証明すること。
• 主に極小化された場合の正規化子のノースコット性における単純性仮定を削除すること。
• 単純でないアーベル多様体に適用可能な、ラング＝シルバーマン予想の洗練された形を提示すること。
• 正規化子、高さ、ねじれ構造の類似性を通じて、数体とアーベル多様体の類似性を拡張すること。

提案手法

• 不適切な還元素数のノルムと複素均質化の単射直径を用いて、アーベル多様体のFaltings高さに対する下界を導出する。
• 行列補題を用いて、正規化子を連続する最小値の積とアーベル多様体の高さに関連付ける。
• ベルティーニ型定理からの明示的評価と商による高さの低減を用いて、高さ不等式における定数を制御する。
• 部分多様体に関する帰納法を用いて、自己準同型作用が稠密でない場合の点の canonical 高さを評価する。
• 主に極小化された場合に適した、洗練されたラング＝シルバーマン予想のバージョンを導入し、単純性仮定の削除を可能にする。
• Minkowskiの連続する最小値の不等式をモーデル・ヴェイユ格子に適用し、正規化子を canonical 高さとFaltings高さに関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さと不適切な還元データから、モーデル・ヴェイユランクに対する条件なしで明示的な上界を導出可能か？
• RQ2 ラング＝シルバーマン高さ予想は、有理点がザリスキー稠密な極小化されたアーベル多様体上の正規化子のノースコット性を示唆するか？
• RQ3 主に極小化された場合のノースコット性における単純性仮定を、この文脈で削除可能か？
• RQ4 この単純性条件の削除を可能にする、ラング＝シルバーマン予想の洗練された形は何か？
• RQ5 正規化子、類数、ねじれの類似性（例：数体とアーベル多様体）は、正規化子と高さの文脈にどのように拡張されるか？

主な発見

• Faltings高さに対する条件なしの下界が確立された：$\mathop{h_{\mathrm{F}}^{+}}(A/K) \geq c \frac{1}{d}\log N^{0}_{A/K} + c_0$、明示的定数 $c = (12g)^{-12g^{12g^{4g}}}$ および $c_0 = -1/c$ を伴う。
• 極小化されたアーベル多様体では、単射直径を含むより強い評価が得られる：$\mathop{h_{\mathrm{F}}^{+}}(A/K) \geq c_1 \frac{1}{d}\log N^{0}_{A/K} + c_2 \frac{1}{d}\sum_{v\in M_K^\infty} d_v \rho(A_v, L_v)^{-2} + c_3$、$c_1 = (12g)^{-12g^{12g^{4g}}}/17$、$c_2 = 1/17$、$c_3 = -1/c_1$。
• ラング＝シルバーマン予想のもとで、正規化子は高さのべき乗から下から抑えられ、次元、ランク、Zariski稠密な有理点が有界な極小化されたアーベル多様体の集合における正規化子のノースコット性が導かれる。
• 洗練されたラング＝シルバーマン予想を導入することで、主に極小化された場合の単純性仮定が削除可能であり、高さが正規化子と点の canonical 高さの関数として制御される。
• 正規化子は、$c_{36}^{m - m_0} \max\{\mathop{h_{\mathrm{F}}^{+}}(A/K), 1\}^{m - m_0}$ から下から抑えられることを示した。ここで $m$ はモーデル・ヴェイユランク、$m_0$ はアーベル部分多様体の最大ランクである。
• 本稿は、数体とアーベル多様体の間の完全な辞書を確立し、正規化子、高さ、類数、ねじれ、単数のランクを関連付ける。