[論文レビュー] Heisenberg algebras and rational double affine Hecke algebras

Peng Shan, Éric Vasserot|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、巡回的有理ダブルアフィンヘッケ代数（RDAHA）のカテゴリ $\mathcal{O}$ を通じて、フォック空間上のヘイゼンベルク代数作用のカテゴリフィケーションを確立する。これは、$\mathcal{O}$ のグローテンディーク群上のサポートフィルトレーションを、ヘイゼンベルク作用によって定義される表現論的グレーディングに関連付ける。エティンフォの予想を、レベルランク双対性とカテゴリフィケートドヘイゼンベルク作用を用いて解き、有限次元 RDAHA 加群の数について明示的な公式を提示する。

ABSTRACT

In this paper we categorify the Heisenberg action on the Fock space via the category O of cyclotomic rational double affine Hecke algebras. This permits us to relate the filtration by the support on the Grothendieck group of O to a representation theoretic grading defined using the Heisenberg action. This implies a recent conjecture of Etingof.

研究の動機と目的

• 巡回的有理ダブルアフィンヘッケ代数（RDAHA）のカテゴリ $\mathcal{O}$ を用いて、フォック空間 $\mathcal{F}_\ell$ 上のヘイゼンベルク代数作用のカテゴリフィケーションを確立すること。
• $\mathcal{O}(\Gamma_n)$ のグローテンディーク群上のサポートフィルトレーションと、ヘイゼンベルク作用によって定義される表現論的グレーディングとの関係を特定すること。
• ヘイゼンベルク作用のカテゴリフィケーションを通じて、$H(\Gamma_n)$ 加群のサポートとフォック空間 $\mathcal{F}_\ell$ 上のグレーディングとの関係を示すエティンフォの予想を証明すること。
• これまで未知であった、有限次元 $H(\Gamma_n)$ 加群の数についての明示的公式を提示すること。

提案手法

• 巡回的 RDAHA のカテゴリ $\mathcal{O}$ の導来カテゴリ $D^b(\mathcal{O}(\Gamma))$ を用いて、フォック空間 $\mathcal{F}_\ell$ 上のヘイゼンベルク代数作用をカテゴリフィケーションする。
• $\mathcal{O}(\Gamma)$ 上に定義された函手 $a^*_\lambda$, $a_{\lambda,*}$ を導入し、これらがグローテンディーク群 $[\mathcal{O}(\Gamma)]$ 上でヘイゼンベルク作用を誘導することを示す。
• ルアウイエの同値を用いて $\mathcal{O}(\Gamma_n)$ を $\zeta$-シュール代数 $\mathbf{S}_\zeta(n,m)$ の加群カテゴリと関連付け、表現論的解釈を可能にする。
• レベルランク双対性を適用し、$\widehat{\mathfrak{gl}}_\ell$-加群 $\mathcal{F}_\ell$ を $\widehat{\mathfrak{gl}}_\ell$ 上のレベル $m$ の作用と同一視することで、$\mathcal{F}_{m,\ell}$ と $\mathcal{F}_\ell$ を結びつける。
• 誘導および制限函手 $A_{\lambda,!}, A_\lambda^*, A_{\lambda,*}$ 及びそれらの $\mathfrak{S}_r$-可換構造を $D^b(\mathcal{O}(\Gamma))$ 上に構成し、カテゴリフィケートド作用を定義する。
• KZ函手と $\operatorname{Rep}(\mathbf{S}_\zeta(n,m))$ 上のbraided tensor構造を用いて、カテゴリフィケートドヘイゼンベルク作用とフォック空間のグレーディングとの関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回的有理ダブルアフィンヘッケ代数の表現論を用いて、フォック空間上のヘイゼンベルク代数作用をどのようにカテゴリフィケーションできるか？
• RQ2 $[\mathcal{O}(\Gamma_n)]$ 上のサポートフィルトレーションと、ヘイゼンベルク作用によって誘導される表現論的グレーディングとの正確な関係は何か？
• RQ3 フォック空間上のヘイゼンベルク作用のカテゴリフィケーションは、$H(\Gamma_n)$ 加群のサポートに関するエティンフォの予想を解消するか？
• RQ4 このカテゴリフィケーションを用いて、有限次元 $H(\Gamma_n)$ 加群の数を明示的に計算できるか？
• RQ5 レベルランク双対性は、この文脈において $\widehat{\mathfrak{sl}}_m$-加群 $\mathcal{F}_{m,\ell}$ と $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$-加群 $\mathcal{F}_\ell$ の間の関係をどのように媒介するか？

主な発見

• 本稿は、巡回的 RDAHA のカテゴリ $\mathcal{O}$ を用いて、フォック空間 $\mathcal{F}_\ell$ 上のヘイゼンベルク代数作用のカテゴリフィケーションを構成し、幾何的サポートと代数的グレーディングとの間の関係を確立する。
• $\mathcal{O}(\Gamma_n)$ のグローテンディーク群 $[\mathcal{O}(\Gamma_n)]$ 上のサポートフィルトレーションが、ヘイゼンベルク作用によって定義される表現論的グレーディングと一致することが示された。
• カテゴリフィケーションにより、エティンフォの予想が証明された：$H(\Gamma_n)$ 加群のサポートは、$\mathcal{F}_\ell$ 上のヘイゼンベルクグレーディングに対応し、フィルトレーションの表現論的解釈が得られた。
• カテゴリフィケートドヘイゼンベルク作用とレベルランク双対性を用いて、有限次元 $H(\Gamma_n)$ 加群の数についての明示的公式が導出された。
• レベルランク双対性を用いて、$\widehat{\mathfrak{gl}}_\ell$-加群 $\mathcal{F}_\ell$ を $\widehat{\mathfrak{gl}}_\ell$ 上のレベル $m$ の作用と同一視し、$\mathcal{F}_{m,\ell}$ から $\mathcal{F}_\ell$ への構造の転送を可能にした。
• 誘導函手の $\mathfrak{S}_r$-可換構造と $\operatorname{Rep}(\mathbf{S}_\zeta(n,m))$ 上のbraided tensor構造を用いて、カテゴリフィケートドヘイゼンベルク作用が定義された。