[論文レビュー] Herdability of Linear Systems Based on Sign Patterns and Graph Structures

Sebastian F. Ruf, Magnus Egerstedt+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、連続時間線形時不変（LTI）システムにおける集合ベースの到達可能性条件として、すべての状態成分を非負の閾値以上に駆動できるかを判定する「ヒーダビリティ」を導入する。グラフ構造と可制御行列の符号パターンを用いて、正確なエッジ重みに依存せずに符号に基づく十分条件を確立し、構造的解析を可能にする。

ABSTRACT

We consider the notion of herdability, a set-based reachability condition, which asks whether the state of a system can be controlled to be element-wise larger than a non-negative threshold. First a number of foundational results on herdability of a continuous time, linear time invariant system are presented. These show that the herdability of a linear system can be determined based on certain matrices, such as the controllability matrix, which arise in the study of controllability of linear systems. Second, the relationship between the sign pattern of the underlying graph structure of a system and the herdability properties of the system is investigated. In doing so the notion of sign herdability is introduced which captures classes of systems whose sign pattern determines their herdability. We identify a set of conditions, first on the sign pattern of the controllability matrix and then on the underlying graph structure, that ensure that the system is sign herdable.

研究の動機と目的

• 完全な可制御性ではなく、すべての状態成分が非負の閾値を超えることを要件とする集合ベースの到達可能性条件としてヒーダビリティを形式化すること。
• システム行列AとBの符号パターンおよびその背後にあるグラフ構造が、正確なエッジ重みに依存せずにヒーダビリティを決定する仕組みを調査すること。
• 可制御行列の符号構造とグラフベースの到達経路に基づいて、完全ヒーダビリティの十分条件を構築すること。
• 有向グラフにおける正負の経路寄与を分析することで、構造的可制御性の概念をヒーダビリティへと拡張すること。
• ネットワークトポロジーにおける構造的バランスと経路符号の一貫性に基づいて、符号ヒーダビリティであると判別できるシステムのクラスを同定すること。

提案手法

• 制御入力を用いてすべての状態成分を閾値 d ≥ 0 以上に駆動できる能力としてヒーダビリティを定義し、完全な可制御性とは独立して扱う。
• 可制御行列 C 及びその符号パターンを用いて、入力から状態へのウォークにおける列の符号に注目し、ヒーダビリティの十分条件を導出する。
• ノードを入力 u_j から状態 x_i への長さ d のすべてのウォークの符号の合計に基づいて分類するための集合 𝒩_d^j と 𝒫_d^j を導入する。
• 入力からある状態へのすべてのウォークの符号が一貫している場合に「符号厳密ヒーダビリティ」と定義し、単調な影響を保証する。
• 符号厳密ヒーダビリティノードによって、矛盾する経路が相殺されるノードに対して「符号バランス」を導入し、より広範なヒーダビリティ解析を可能にする。
• グラフ走査を用いて 𝒩_d^j と 𝒫_d^j を計算するアルゴリズムを提示し、DAG では線形時間計算量、それ以外では指数時間計算量を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可制御行列 C の符号パターンがどのような条件下で線形システムが完全にヒーダビリティを満たすか？
• RQ2 システムの背後にあるグラフ構造が、エッジ重みの大きさに依存せずにヒーダビリティにどのように影響を与えるか？
• RQ3 システム行列 A と B の符号構造のみからヒーダビリティを特定できるか？その場合、どのような構造的仮定が必要か？
• RQ4 グラフにおける構造的バランスが符号ヒーダビリティの決定に果たす役割は何か？また、解析をどのように簡略化するか？
• RQ5 符号付き経路のグラフ走査に基づくヒーダビリティの検証における計算複雑性はどの程度か？

主な発見

• 線形システムのヒーダビリティは、可制御行列 C の符号パターンを分析することで特定可能であり、列の符号が一貫している場合にヒーダビリティの可能性が示唆される。
• すべての状態ノードが符号厳密ヒーダビリティ（入力からのすべての経路の符号が一貫）であるか、符号バランス（矛盾する経路が符号厳密ヒーダビリティノードによって支配される）である場合、システムは完全に符号ヒーダビリティを満たす。
• 定理9は完全符号ヒーダビリティの十分条件を提供する：各状態ノードに対して、ある入力と距離 d が存在し、ノードが正のウォークのみまたは負のウォークでのみ到達可能である。
• 定理10はこれに拡張され、すべてのノードが符号厳密ヒーダビリティノードによってバランスされている場合、システムは完全に符号ヒーダビリティを満たすことが示される。
• 有向無閉路グラフ（DAG）では、集合 𝒩_d^j と 𝒫_d^j を線形時間で計算可能であり、効率的なヒーダビリティ検証が可能になる。
• 非DAGでは、すべてのウォークを列挙する必要があるため、指数時間の計算量を要し、疎または無閉路トポロジーに限定して実用的なスケーラビリティが保証される。