[論文レビュー] Hermann Hankel's "On the general theory of motion of fluids", an essay including an English translation of the complete Preisschrift from 1861

B. Villone, Cornelius Rampf|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2017

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、1861年にヘルマン・ハンケルが執筆した、ラグランジュ流体動力学の草分け的業績である『プレイスシュリフト』の初の完全な英訳を提示する。この作品は、高度な微分幾何学および変分原理を用いて流体運動の法則を定式化したものであり、関数行列式を用いた体積保存および物質連続性の深い洞察を示しており、現在は『密度方程式』および『体積不変の法則』として知られる基礎的結果を確立している。これは現代の定式化より数十年も前から存在していた、連続体力学における重要な貢献である。

ABSTRACT

The present is a companion paper to "A contemporary look at Hermann Hankel's 1861 pioneering work on Lagrangian fluid dynamics" by Frisch, Grimberg and Villone (2017). Here we present the English translation of the 1861 prize manuscript from Göttingen University "Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten" (On the general theory of the motion of the fluids) of Hermann Hankel (1839-1873), which was originally submitted in Latin and then translated into German by the Author for publication. We also provide the English translation of two important reports on the manuscript, one written by Bernhard Riemann and the other by Wilhelm Eduard Weber, during the assessment process for the prize. Finally we give a short biography of Hermann Hankel with his complete bibliography.

研究の動機と目的

• 1861年にゲーティンゲン大学の賞をめざして提出された、元々ラテン語で書かれたヘルマン・ハンケルのドイツ語版『プレイスシュリフト』の完全な英訳を提供すること。
• ベルンハート・リーマンおよびヴィルヘルム・エウドゥアルト・ヴェーバーによるハンケルの業績に関する2通の重要な評価報告書を翻訳・出版すること。これらは賞決定において重要な役割を果たした。
• ハンケルの見過ごされた1861年の業績を、流体動力学および微分幾何学の歴史的文脈に位置づけることで、学術的注目を再び喚起すること。
• ハンケルの業績に寄与する包括的な伝記および完全な参考文献目録を提供し、彼の学術的遺産へのアクセスを向上させること。
• ハンケルが変分法および微分幾何学を流体運動に応用した独創性と深さ、特にラグランジュ的枠組みにおけるその応用の重要性を強調すること。

提案手法

• ゲーティンゲン大学所蔵の1861年ドイツ語版『プレイスシュリフト』を、HathiTrustデジタルライブラリーの検証済みデジタルコピーに基づいて翻訳。
• 可能な限り原文のラテン語原稿の内容を組み込むが、ラテン語版は失われたと想定され、主にドイツ語版を主たる出典とする。
• ベルンハート・リーマンおよびヴィルヘルム・エウドゥアルト・ヴェーバーによる2通の審査委員会報告書の翻訳。これらはハンケルの業績の評価において決定的であった。
• 一貫した表記法および式番号の体系を採用。併記論文における式参照のための追加[ p.n ]ラベルを付与。
• 翻訳者注釈（T.[n]）および著者注釈（A.[n]）を用いて、元の注釈を保持するとともに、技術的発言の文脈を明確にする。
• 位置変数（x, y, z）と物質座標（a, b, c）との間の関数行列式の導出と提示を行い、体積保存条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘンリック・ハンケルは1861年にラグランジュ座標系において流体運動の法則をどのように定式化したのか。彼のアプローチの画期的な点は何であったか。
• RQ2 現代数学におけるこれらの道具の形式的発展よりも前において、ハンケルが微分幾何学および変分原理を流体動力学にどのように応用したか。
• RQ3 物質連続性および体積保存に関する深い洞察を有していたにもかかわらず、なぜハンケルの業績は当初無視されてしまったのか。
• RQ4 リーマンおよびヴェーバーによる評価は、当時ハンケルの業績がどのように認識されたかにどのような影響を与えたか。
• RQ5 関数行列式が、オイラー的表現とラグランジュ的表現の間の流体の流れをどのように結びつけるか。

主な発見

• ハンケルは、体積不変流動の条件を、(x, y, z) と (a, b, c) との間の関数行列式が1に等しいこととして導出した。これは現代の「体積不変の法則」として知られるものと同等である。
• 本論文は、物質座標から空間座標への変換のヤコビ行列式が1に等しい場合に限り、流体要素の体積が運動中に不変に保たれることを確立している。
• ハンケルは、微小な幾何学的形状（たとえば、正四面体、回転楕円体、平面）が流体運動の間でも位相的および幾何学的性質を保持することを示した。これは物質連続性を確認するものである。
• 本研究は、変形勾配行列の行列式が体積比（T/T₀）として表現され、密度比（ϱ₀/ϱ）と直接的に関係することを明らかにした。これにより連続の方程式の基礎が築かれた。
• ハンケルが1861年に変分法および微分幾何学を流体運動に応用したことは、連続体力学における現代の定式化より1世紀以上も前触れであった。
• リーマンおよびヴェーバーによる評価報告の翻訳により、ハンケルの業績が当時の主要な数学者たちによって数学的に深遠かつ革新的なものとして認識されていたことが確認された。しかし、その後の文献ではその存在がほとんど無視されていた。