[論文レビュー] Hermite-Hadamard type inequalities for s-convex and s-concave functions via fractional integrals

M. Emіn Özdemіr, Merve Avcı+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2012

Mathematical Inequalities and Applications被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、リーマン＝リウヴィル型分数積分を用いて、s-凸およびs-凹関数に対する新しいエルミート＝ハダール型不等式を確立する。著者らは、新たな分数積分恒等式を導出し、ホルダーの不等式およびべき平均の不等式を適用することで、ガンマ関数およびベータ関数を含む鋭い境界を得た。これは、s-凸関数に関する古典的および分数積分不等式の先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

New identity for fractional integrals have been defined. By using of this identity, some new Hermite-Hadamard type inequalities for Riemann-Liouville fractional integral have been developed. Our results have some relationships with the result of Avci et al., proved in AKO.

研究の動機と目的

• 分数級の微積分を用いて、古典的エルミート＝ハダール不等式をs-凸およびs-凹関数の設定に拡張すること。
• 微分可能な関数の導関数がs-凸またはs-凹である場合に一般化される、新たな分数積分恒等式の構築。
• ホルダーの不等式およびべき平均の不等式を用いて、分数積分の偏差に対する鋭い境界を導出すること。
• アフチらおよびカヴルマチらの先行研究を、s-凸性および分数積分の文脈で統合・一般化すること。

提案手法

• Riemann-Liouville積分の次数α > 0を含む、新たな分数積分恒等式を導出。関数の平均値とその導関数との間を重み付き積分で結ぶ。
• 共役指数pとq（1/p + 1/q = 1）を用いたホルダーの不等式を適用し、導関数項のL1ノルムを評価。
• |f′|qのs-凸性およびs-凹性を用いて、t^sおよび(1−t)^sの重みを含む[0,1]上での積分を上界で抑え込む。
• 特に∫₀¹ (1−t^α)^p dtおよび∫₀¹ (1−t^α) t^s dtといった重要な積分を、ベータ関数およびガンマ関数を用いて評価。
• べき平均の不等式を用いて、凸結合に沿った導関数のLqノルムを制御。
• |f′(x)|、|f′(a)|、|f′(b)|およびパrameters α、s、p、qを含む、ガンマ関数を含む明示的定数で表される境界を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン＝リウヴィル型分数積分を用いて、どのようにエルミート＝ハダール型不等式をs-凸およびs-凹関数に一般化できるか？
• RQ2 分数積分と関数平均との偏差に対する上界における定数の鋭さはいかに評価できるか？
• RQ3 |f′|qがs-凹である場合、s-凸の場合と比較して境界はどのように変化するのか？また、パrameter sは果たす役割は何か？
• RQ4 α→1の極限において、本稿の結果はアフチらおよびカヴルマチらの古典的不等式を回復または拡張できるか？
• RQ5 s∈(0,1]およびq>1のとき、分数積分不等式における最適な定数は何か？

主な発見

• 本稿は、α=1およびx∈[a,b]の場合にカヴルマチらの古典的恒等式を一般化する新たな分数積分恒等式を確立した。
• s-凸な|f′|qに対しては、(x−a)^{α+1}および(b−x)^{α+1}を含む2つの項の和として境界が得られ、その係数はα、sおよびベータ関数に依存する。
• s-凹な|f′|qに対する上界は、2^{s−1}およびガンマ関数を用いて表現され、s-凸の場合よりもタイトな推定が得られる。
• α=1の場合、不等式はアフチら（2011年）の結果に還元され、先行研究と整合性が確認された。
• 古典的エルミート＝ハダール不等式における定数1/(s+1)が、s-凸関数に対して最適であることが示された。
• s-凹な|f′|qに対する最終的な不等式には、(Γ(1+p)Γ(1+1/α)/Γ(1+p+1/α))^{1/p}という因子が含まれており、これはαおよびpに応じた境界の鋭さを制御する。