[論文レビュー] Hermitian Harmonic maps and non-degenerate curvatures

Kefeng Liu, Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非退化な曲率をもつケーラーまたはリーマン的ターゲット多様体へのヘルミート調和およびプレュリーハーモニック写像に関して、剛性および解析的性質を確立する。非ケーラーなヘルミート多様体上で精密化されたボッホナー公式を用いて、曲率およびランクの条件の下で、このような写像が正則的、反正則的、または定数写像であることを証明し、古典的なシウ、ジョスト＝ヨウ、サムプソンの結果を非ケーラー設定に一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of various harmonic maps from Hermitian manifolds to Kaehler, Hermitian and Riemannian manifolds respectively. By using refined Bochner formulas on Hermitian (possibly non-Kaehler) manifolds, we derive new rigidity results on Hermitian harmonic maps from compact Hermitian manifolds to Riemannian manifolds, and we also obtain the complex analyticity of pluri-harmonic maps from compact complex manifolds to compact Kaehler manifolds (and Riemannian manifolds) with non-degenerate curvatures, which are analogous to several fundamental results in [28,Siu], [14,Jost-Yau] and [26, Sampson].

研究の動機と目的

• 調和写像の古典的剛性定理をヘルミート（非ケーラー）多様体へ拡張すること。
• ヘルミート調和またはプレュリーハーモニック写像が正則的、反正則的、または定数写像である条件を確立すること。
• 曲率およびランクの制約を用いて、シウおよびジョスト＝ヨウの調和写像に関する結果を非ケーラー領域へ一般化すること。
• 非退化曲率および $\delta$-条件 ($\partial\overline{\partial}\omega^{m-2}_h = 0$) が写像の剛性に果たす役割を調査すること。
• ヘルミート多様体上におけるさまざまな調和写像の種類（古典的、$\partial$-、$\overline{\partial}$-、ヘリオトニック）の違いを明確にすること。

提案手法

• 非自明な torsion をもつヘルミート多様体に対する精密化されたボッホナー公式を導出し、イーリス＝サムプソンおよびジョスト＝ヨウの手法を適応する。
• ヘルミート調和写像方程式を用いる：$-h^{\alpha\overline{\beta}}\left(\frac{\partial^2 f^i}{\partial z^\alpha \partial \overline{z}^\beta} + \Gamma_{jk}^i \frac{\partial f^j}{\partial \overline{z}^\beta} \frac{\partial f^k}{\partial z^\alpha}\right) = 0$。
• 一般化された発散自由構造を適用：$\left(\overline{\partial}_E - 2\sqrt{-1}\partial^*\omega_h\right)^*\left(\overline{\partial}f\right) = 0$。
• 非退化曲率の概念（定義 4.1）を導入し、シウの強い正曲率を一般化する。
• ストークスの定理および $(1,1)$-形式の積分を用いて、トポロジー的または曲率的制約の下で $\omega_0 = 0$ を示す。
• 曲率の縮約恒等式を用いる：$R_{ijk\ell} \left( h^{\alpha\overline{\beta}} \frac{\partial f^i}{\partial z^\alpha} \frac{\partial f^\ell}{\partial \overline{z}^\beta} \right) \left( h^{\gamma\overline{\delta}} \frac{\partial f^j}{\partial z^\gamma} \frac{\partial f^k}{\partial \overline{z}^\delta} \right) = 0$ を用いてランクを制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなヘルミート多様体からリーマン的ターゲット多様体へのヘリオトニック写像が正則的または定数写像である条件は何か？
• RQ2 シウの正則的剛性結果は、非ケーラーなヘルミート領域へ拡張可能か？
• RQ3 $\partial\overline{\partial}\omega^{m-2}_h = 0$ 条件（アストヘノケーラー）は写像の剛性にどのような役割を果たすか？
• RQ4 ターゲット多様体上の非退化曲率が、プレュリーハーモニック写像の微分のランクにどのように制約を加えるか？
• RQ5 コンパクトな複素多様体からケーラーまたはリーマン的ターゲット多様体へのプレュリーハーモニック写像が常に定数写像となるのはいつか？

主な発見

• 写像 $f: (M,h) \to (N,g)$ が $\partial\overline{\partial}\omega_h^{m-2} = 0$ を満たし、$(N,g)$ が強くヘリオトニック負曲率を持つならば、$\text{rank}_{\mathbb{R}} df \leq 2$ であり、$\dim_{\mathbb{C}} M > 1$ ならば定数負曲率多様体への埋め込みは存在しない。
• コンパクトな複素多様体 $M$ からコンパクトなケーラー多様体 $(N,g)$ へのプレュリーハーモニック写像 $f: M \to (N,g)$ が非退化曲率を持つ場合、$\text{rank}_{\mathbb{R}} df \geq 4$ ならば正則的または反正則的である。
• $\text{rank}_{\mathbb{R}} df < 2m$ ならば、非退化曲率をもつケーラーまたはリーマン的ターゲット多様体へのプレュリーハーモニック写像は常に定数写像である。
• カラビ＝エクマン多様体 $\mathbb{S}^{2p+1} \times \mathbb{S}^{2q+1}$ に対して、任意のプレュリーハーモニック写像が $N(c)$ へ写される場合、$p+q \geq n$ ならば定数写像である。
• $\mathbb{CP}^m$ から $\mathbb{CP}^n$ へのプレュリーハーモニック写像は $m > n$ ならば定数写像であり、$\mathbb{CP}^n$ から実空間形式 $N(c)$ への写像は $n \geq 2$ ならば定数写像である。
• ターゲット多様体の一点で非退化ヘリオトニック曲率をもつならば、任意のプレュリーハーモニック写像 $f: M \to (N,g)$ に対して $\text{rank}_{\mathbb{R}} df(p) \leq 2$ である。