[論文レビュー] Ricci Curvatures on Hermitian manifolds

Kefeng Liu, Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 52被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素多様体における最初のAeppli-Chern類を導入し、反標準線束上のLevi-Civita接続の曲率を用いてその幾何的意義を確立する。ヘルミート、Chern、リーマン接続におけるリッチ曲率を体系的に比較し、ホフマン多様体上に明示的なLevi-Civitaリッチ平坦計量を構成する。非ケーラー的ヘルミート多様体が非負の第一チャーン類を持つ場合でも、厳密に負のリーマンスカラー曲率を持つ計量を有することが示される。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the first Aeppli-Chern class for complex manifolds and show that the $(1,1)$- component of the curvature $2$-form of the Levi-Civita connection on the anti-canonical line bundle represents this class. We systematically investigate the relationship between a variety of Ricci curvatures on Hermitian manifolds and the background Riemannian manifolds. Moreover, we study non-Kähler Calabi-Yau manifolds by using the first Aeppli-Chern class and the Levi-Civita Ricci-flat metrics. In particular, we construct explicit Levi-Civita Ricci-flat metrics on Hopf manifolds $S^{2n-1} imes S^1$. We also construct a smooth family of Gauduchon metrics on a compact Hermitian manifolds such that the metrics are in the same first Aeppli-Chern class, and their first Chern-Ricci curvatures are the same and nonnegative, but their Riemannian scalar curvatures are constant and vary smoothly between negative infinity and a positive number. In particular, it shows that Hermitian manifolds with nonnegative first Chern class can admit Hermitian metrics with strictly negative Riemannian scalar curvature.

研究の動機と目的

• 複素多様体における最初のAeppli-Chern類を、反標準線束上のLevi-Civita接続の曲率を用いて定義・研究すること。
• 特に非ケーラー的状況下において、さまざまなリッチ曲率（Levi-Civita、Chern、リーマン）の関係を明確にすること。
• ホフマン多様体 $\mathbb{S}^{2n-1} \times \mathbb{S}^1$ 上に明示的なLevi-Civitaリッチ平坦計量を構成すること。
• 非負の第一チャーン類を持つヘルミート多様体が、厳密に負のリーマンスカラー曲率を持つ計量を有することを示すこと。
• 同じAeppli-Chern類に属する滑らかなGauduchon計量の1パラメータ族を構成し、同一の非負の第一チャーン-リッチ曲率を持つが、スカラー曲率が $-\infty$ から正の数へ滑らかに変化するようにすること。

提案手法

• 反標準線束上のLevi-Civita接続の曲率を用いて、$H^{1,1}_A(M)$ に値をとるコhomology類として最初のAeppli-Chern類 $c_1^{AC}$ を定義する。
• リーマン曲率テンソルをヘルミート計量で縮約することで、Levi-Civitaリッチ曲率 $\mathfrak{R}^{(1)}$ から $\mathfrak{R}^{(4)}$ の4つの成分を定義する。
• チャーン接続の曲率 $\Theta$ を用いて第一チャーン類 $c_1(M)$ を表現し、これとLevi-Civita曲率 $\mathfrak{R}$ を比較することで、リーマン幾何とヘルミート幾何の関係を明らかにする。
• Bianchi恒等式を用いて $*$-リッチ曲率とヘルミートスカラー曲率の関係を示し、$s^* = 2s_H$ を得る。
• 特定のアンサッツを用いてホフマン多様体上に明示的なヘルミート計量を構成し、曲率計算によりリッチ平坦性を検証する。
• 同じAeppli-Chern類に属する滑らかな1パラメータ族のGauduchon計量を構成し、非負の第一チャーン-リッチ曲率は固定されたまま、スカラー曲率が $-\infty$ から正の数へ滑らかに変化するようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反標準線束上のLevi-Civita接続の曲率として、最初のAeppli-Chern類が幾何的に実現可能か。
• RQ2 非ケーラー的ヘルミート多様体上での、さまざまなリッチ曲率（Levi-Civita、Chern、リーマン、$*$-リッチ）の関係は何か。
• RQ3 非ケーラー的Calabi-Yau多様体は存在するか。また、Levi-Civitaリッチ平坦計量を用いて明示的に構成可能か。
• RQ4 非負の第一チャーン類を持つヘルミート多様体が、厳密に負のリーマンスカラー曲率を持つ計量を有する可能性はあるか。
• RQ5 同じAeppli-Chern類に属する滑らかなGauduchon計量の族が、同一の非負の第一チャーン-リッチ曲率を持つが、スカラー曲率が変化可能（$-\infty$ から正の数へ）であるようなものを作成可能か。

主な発見

• 最初のAeppli-Chern類 $c_1^{AC}(L)$ は、反標準線束上のLevi-Civita接続の曲率2形式の $(1,1)$-成分によって表現される。
• 最初のLevi-Civitaリッチ曲率 $\mathfrak{R}^{(1)}$ は $d$-閉ではないため、$H^{1,1}_{\overline{\partial}}(M)$ に属するクラスとはならないが、Aeppliコhomologyに属するクラスを定義する。
• ホフマン多様体 $\mathbb{S}^{2n-1} \times \mathbb{S}^1$（$n \geq 2$）上に明示的なLevi-Civitaリッチ平坦計量が構成される。
• コンパクトなヘルミート多様体上に、同じ最初のAeppli-Chern類に属する滑らかなGauduchon計量の族が構成され、すべての計量が同一の非負の第一チャーン-リッチ曲率を持ち、リーマンスカラー曲率が $-\infty$ から正の数へ滑らかに変化する。
• 非負の第一チャーン類を持つヘルミート多様体が、厳密に負のリーマンスカラー曲率を持つヘルミート計量を有することが可能であり、ケーラー幾何からの直感とは反する。
• $*$-リッチ曲率は一般に対称でも反対称でもなく、その混合対称性の性質により、任意のほぼヘルミート多様体上で正定値にはなり得ない。