[論文レビュー] Hermitian manifolds with semi-positive holomorphic sectional curvature

Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、半正値だが恒等的にゼロでない正則的断面曲率を持つコンpakトなヘルミート多様体がコディラ・次元 $-\infty$ を持つことを証明し、ヤウの予想の部分的解決を果たす。さらに、コディラおよびハイパーオービット曲面—たとえ正接バンドルがネフであっても—このような計量を有し得ないことを示し、ケーラーでない非ケーラー的状況における曲率正性の新たな障害を提供する。特に、ケーラーでない場合のコーシー＝ヤウ多様体が半正値正則的断面曲率を持つならば、トーラスでなければならないことが示される。

ABSTRACT

We prove that a compact Hermitian manifold with semi-positive but not identically zero holomorphic sectional curvature has Kodaira dimension $-\infty$. As applications, we show that Kodaira surfaces and hyperelliptic surfaces can not admit Hermitian metrics with semi-positive holomorphic sectional curvature although they have nef tangent bundles.

研究の動機と目的

• コンパクトなヘルミート多様体上で、半正値正則的断面曲率がもたらす双有理的および代数的幾何的意味を特定すること。
• 正接バンドルがネフであるような多様体（例：コディラ曲面およびハイパーオービット曲面）が、半正値正則的断面曲率を持つヘルミート計量を有し得るかどうかを調査すること。
• 正則的断面曲率と canonical/anti-canonical バンドルの正則性または捩れ性との関係を明確にすること。
• 正則的断面曲率が正であるというヤウの予想を、ケーラーでないヘルミート多様体への一般化すること。
• ケーラーでないコーシー＝ヤウ多様体に対して、このような計量の存在に対する新たな障害を提供すること。特に、対角ホフ多様体が正則性の期待に反する反例を示す。

提案手法

• 局所正則座標における曲率テンソル展開を用い、チェーン接続と曲率成分を通じて正則的断面曲率を分析する。
• ケーラー対称性と曲率縮約技術を適用し、定数ゼロの正則的断面曲率が平坦性および複素平行化を意味することを示す。
• 複素平行化多様体は、トーラスでない限りケーラー的でないという事実を用いて、ゼロ曲率の非トーラス多様体に対して矛盾を導く。
• 射影バンドル（例：ヒルツェブルクの表面）の canonical バンドルに関する既知の結果を適用し、$K_Y^{-1}$ が有効であるものの、その正則性は保証されないことを示す。
• コーシー＝ヤウ多様体の canonical バンドルに関する定理（例：$K_X$ が捩れ）を用い、半正値曲率が平坦性を意味し、したがってトーラス構造を意味することを導く。
• 射影バンドルの付随公式を用いて $K_Y$ および $K_Y^{-1}$ を計算し、$K_Y^{-1}$ の正則性を仮定した場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなヘルミート多様体が半正値だが恒等的にゼロでない正則的断面曲率を持つ場合、必ずコディラ・次元 $-\infty$ を持つか？
• RQ2 正接バンドルがネフであるにもかかわらず、コディラ曲面やハイパーオービット曲面が、半正値正則的断面曲率を持つヘルミート計量を有し得るか？
• RQ3 コンパクトなコーシー＝ヤウ多様体がケーラー計量と半正値正則的断面曲率を同時に持つならば、それはトーラスでなければならないか？
• RQ4 正の正則的断面曲率が、canonical バンドルの負の曲率が正則性をもたらすのと同様に、anti-canonical バンドルの正則性をもたらすか？
• RQ5 ケーラーでないコーシー＝ヤウ多様体が半正値正則的断面曲率を持つ場合、幾何的制約は何か？

主な発見

• 半正値正則的断面曲率であり、かつ恒等的にゼロでないコンパクトなヘルミート多様体は、コディラ・次元 $-\infty$ を持つ。
• コディラ曲面およびハイパーオービット曲面は、正接バンドルがネフであるにもかかわらず、半正値正則的断面曲率を持つヘルミート計量を有し得ない。
• コンパクトなコーシー＝ヤウ多様体がケーラー計量と半正値正則的断面曲率を持つならば、それはトーラスでなければならない。
• $k \geq 2$ に対して、$Y = \mathbb{P}(\mathcal{O}_{{\mathbb{P}}^1}(-k) \oplus \mathcal{O}_{{\mathbb{P}}^1})$ であるヒルツェブルクの表面は、正の正則的断面曲率を持つケーラー計量を有するが、その反 canonical バンドルは正則でない。
• 対角ホフ多様体は、ケーラーでないコーシー＝ヤウ多様体であり、半正値正則的断面曲率を持つが、その反 canonical バンドルは正則でない。これは、このような曲率が反 canonical バンドルの正則性を保証しないことを示している。
• ケーラー多様体上で、正則的断面曲率が定数ゼロであるならば、平坦性および複素平行化が成立し、その結果、ケーラー多様体としてのトーラス構造が導かれる。