[論文レビュー] Heron triangle and rhombus pairs with a common area and a common perimeter

Yong Zhang, Junyao Peng|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Mathematics and Applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、代数曲線上の有理点生成のフェルマーの方法を用いて、同じ面積と周囲の長さを持つ無限に多くのヘロン三角形とθ-整数菱形が存在することを証明している。一方で、導かれた genus-2 の超楕円曲線上に有理点が存在しないことから、整数の二等辺三角形とθ-整数菱形の組は存在しないことが示されている。

ABSTRACT

By Fermat's method, we show that there are infinitely many Heron triangle and $θ$-integral rhombus pairs with a common area and a common perimeter. Moreover, we prove that there does not exist any integral isosceles triangle and $θ$-integral rhombus pairs with a common area and a common perimeter.

研究の動機と目的

• ヘロン三角形とθ-整数菱形が、面積と周囲の長さの両方を共有できるかどうかを特定すること。
• 整数の二等辺三角形とθ-整数菱形のペアが、共通の面積と周囲の長さを持つ存在を調査すること。
• 代数曲線上の有理点生成のフェルマーの方法を用いて、解を構成すること。
• 面積と周囲の長さの等しさを規定するディオファントス方程式の背後にある構造を分析すること。
• genus-2 曲線の解析を用いて、二等辺三角形の場合の解の非存在を証明すること。

提案手法

• 有理数パラメータ u, v, w を用いてヘロン三角形をパラメータ表示し、斉次性を保つために w = 1 と設定する。
• t ≥ 1 として、有理数の辺の長さ p と有理数の sinθ, cosθ を用いてθ-整数菱形をモデル化する。
• 三角形と菱形の周囲の長さと面積が等しくなるように方程式系を導出する。
• p を消去することで、u と t における四次ディオファントス方程式を得、曲線 C₁: s² = g(t) を得る。
• フェルマーの方法を適用するため、s = rt² + qt + 2u という二次のアンサツを仮定して有理数解を強制する。
• 得られた有理点 P′ を用いて、u > √3/3 を満たす無限に多くの有理数解を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じ面積と周囲の長さを持つヘロン三角形とθ-整数菱形のペアが無限に存在するか？
• RQ2 整数の二等辺三角形とθ-整数菱形が、面積と周囲の長さの両方を共有できるか？
• RQ3 このようなペアの存在を規定する代数的構造は何か？
• RQ4 フェルマーの有理点生成法は、解の構成にどのように適用されるか？
• RQ5 genus-2 の超楕円曲線は、二等辺三角形の場合の非存在性を証明するために果たす役割は何か？

主な発見

• フェルマーの方法を有理曲線上に適用することで、同じ面積と周囲の長さを持つヘロン三角形とθ-整数菱形のペアが無限に存在することが証明された。
• u = 1 のとき、ヘロン三角形 (8, 15, 17) と辺が 10、sinθ = 3/5 の菱形は、面積 60 と周囲の長さ 40 を共有する。
• u = 2 のとき、ヘロン三角形 (1804, 2040, 1732) と辺が 1394、sinθ = 528/697 の菱形は、面積 1,472,064 と周囲の長さ 5,576 を共有する。
• 方程式 W² = U⁶ − 4U⁴ + 8U² − 4 には有理点 (U, W) = (±1, ±1) のみが存在し、それらは自明な解に帰着する。
• 二等辺三角形の場合は非自明な有理数解が存在せず、したがってそのような整数ペアは存在しないことが証明された。
• 非存在性の結果は、genus-2 曲線のランク1のヤコビアンと Magma によるチャバウティ計算に起因する。