[論文レビュー] Heuristics in direction of a p-adic Brauer--Siegel theorem

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、全実数体 $K$ の最大アーベル $p$-分岐 $p$-完全拡大体のガロア群における torsion 群 $\mathrm{TK}$ の $p$-進付値が、判別式 $D_K$ に対して対数的に有界であるという、古典的ブラウアー＝シーゲル定理の $p$-進類似を提案する。代数的数論と PARI/GP を用いた数値的検証を通じて、正規化された不変量 $C_p(K) = \mathrm{vp}(\#\mathrm{TK}) \cdot \log p / \log \sqrt{D_K}$ を導入し、固定された $p$ に対して $\sup_K C_p(K) < \infty$ である強力なヒューリスティック的・計算的証拠を提示する。これは普遍的な $p$-進ブラウアー＝シーゲル挙動を示唆する。

ABSTRACT

Let p be a fixed prime number. Let K be a totally real number field of discriminant D\_K and let T\_K be the torsion group of the Galois group of the maximal abelian p-ramified pro-p-extension of K (under Leopoldt's conjecture). We conjecture the existence of a constant C\_p>0 such that log(\#T\_K) $\le$ C\_p log(\sqrt(D\_K)) when K varies in some specified families (e.g., fields of fixed degree). In some sense, we suggest the existence of a p-adic analogue, of the classical Brauer--Siegel Theorem, wearing here on the valuation of the residue at s=1 (essentially equal to \#T\_K) of the p-adic zeta-function zeta\_p(s) of K.We shall use a different definition that of Washington, given in the 1980's, and approach this question via the arithmetical study of T\_K since p-adic analysis seems to fail because of possible abundant "Siegel zeros" of zeta\_p(s), contrary to the classical framework.We give extensive numerical verifications for quadratic and cubic fields (cyclic or not) and publish the PARI/GP programs directly usable by the reader for numerical improvements. Such a conjecture (if exact) reinforces our conjecture that any fixed number field K is p-rational (i.e., T\_K=1) for all p >> 0 .

研究の動機と目的

• アーベル的設定における類数とリーマン・レジデュアルと判別式の関係を示す古典的ブラウアー＝シーゲル定理の $p$-進類似を確立すること。
• 全実体の族に対して、$p$-進付値 $\mathrm{vp}(\#\mathrm{TK})$ が $\log \sqrt{D_K}$ の定数倍で有界であるかどうかを調査すること。ここで $\mathrm{TK}$ は $s=1$ における $p$-進ゼータ関数の残差に関連する torsion 群である。
• $p$-進 $L$-関数における「シーゲル零点」の可能性により $p$-進解析的手法が失敗する問題を、$\mathrm{TK}$ を中心とする代数的アプローチによって克服すること。
• 二次および三次体の族にわたるこの予想の計算的証拠と、PARI/GP コードの提供を通じて検証可能性を示すこと。
• すべての数体が十分大きな素数 $p$ に対して $p$-有理的（すなわち $\mathrm{TK} = 1$）であるというより広範な予想を支持すること。

提案手法

• Leopoldt予想の下で、全実体 $K$ の最大アーベル $p$-分岐 $p$-完全拡大体のガロア群の torsion 群を $\mathrm{TK} = \mathrm{Gal}(H^{\mathrm{pr}}_K / K^c)$ と定義する。
• 判別式に相対する $\mathrm{vp}(\#\mathrm{TK})$ の成長を測る正規化不変量 $C_p(K) = \mathrm{vp}(\#\mathrm{TK}) \cdot \log p / \log \sqrt{D_K}$ を導入する。
• exact sequence を用いて $\mathrm{WK}$, $\mathrm{UK}/\overline{\mathrm{EK}}$, および $p$-進対数を関連させ、$\mathrm{TK}$ を正規化された $p$-進レジデュアル $\mathrm{RK}$ と結びつける。
• 実二次体および実三次体（巡回および非巡回）に対して、PARI/GP を用いた広範な数値計算を実施し、$\mathrm{vp}(\#\mathrm{TK})$ および $C_p(K)$ を計算する。
• 固定次数の体の族および塔における $C_p(K)$ の挙動を分析し、多くの場合に $C_p(K) < 1$ であることが観察された。
• $p$-進設定を古典的ブラウアー＝シーゲル定理と比較し、$p$-進解析がシーゲル零点の可能性により失敗するため、代数的アプローチへの移行が不可避であることを指摘する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された次数の全実体 $K$ 全体に対して、$\mathrm{vp}(\#\mathrm{TK}) \leq C_p \cdot \log \sqrt{D_K}$ を満たす一様な有界値 $C_p < \infty$ が存在するか？
• RQ2 シーゲル零点のため $p$-進解析手法が失敗する状況において、$\mathrm{TK}$ のような代数的不変量を用いて $p$-進ブラウアー＝シーゲル定理を確立できるか？
• RQ3 $D_K \to \infty$ の下での二次体または三次体の族における $C_p(K)$ の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 $\sup_K C_p(K) < \infty$ の予想が、任意の数体が十分大きな $p$ に対して $p$-有理的であるというより強い予想を支持するか？
• RQ5 $K^{(d)}_{\mathrm{real}}(p^e)$ のような族において、不変量 $C_p(K)$ を用いて非 $p$-有理的体の有限性を示せるか？

主な発見

• 実二次体では、$C_p(K)$ の値が 1 より小さいことが観察され、例として $p=2$, $k=9$, $D=17213619969^2$, $v_p(\#\mathrm{TK})=28$, $C_p=0.8234$ が得られた。
• 三次体では、$C_p(K)$ の値が最小で 0.2500 に達し、$p=37$, $D=44563^2$, $v_p(\#\mathrm{TK})=1$, $C_p=0.2500$ であった。
• 五次および七次体では、それぞれ $C_p(K)$ の値が 0.5000 および 0.3333 であり、$C_p(K) \leq 1$ 傾向が強く示された。
• 導手 $p$ の巡回三次体では、$p \leq 10^8$ の範囲で $v_p(\#\mathrm{TK})=1$ となる例がわずか 2 つしか見つからず、$C_p(K)=1$ はまれで、おそらく有限個であると考えられる。
• 本稿では、任意の $p$ および体に対して $\mathrm{TK}$ と $C_p(K)$ を直接計算可能な PARI/GP コードを提供しており、さらなる数値的検証が可能である。
• 結果は、固定された $p$ に対して $\sup_K C_p(K) < \infty$ であるという予想を支持し、また任意の固定された $K$ に対して $\limsup_p C_p(K) = 0$ であることも示唆しており、$p$-有理性予想を強化する。