[論文レビュー] Hierarchy-Based Algorithms for Minimizing Makespan under Precedence and Communication Constraints

Janardhan Kulkarni, Shi Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2020

Scheduling and Optimization Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、同一マシン上で先行順序制約および通信遅延を伴うスケジューリング問題に対して、Sherali-Adamsの階層によるリフトを用いた階層的アプローチにより、$(1+\epsilon)$-近似アルゴリズムを提示する。この手法はほぼ準多項式時間の計算量を達成し、非移行的および通信遅延設定へも拡張可能であり、非プリエンプティブな状況下での任意のジョブ長に対する長年の未解決問題を解消する。

ABSTRACT

We consider the classic problem of scheduling jobs with precedence constraints on a set of identical machines to minimize the makespan objective function. Understanding the exact approximability of the problem when the number of machines is a constant is a well-known question in scheduling theory. Indeed, an outstanding open problem from the classic book of Garey and Johnson asks whether this problem is NP-hard even in the case of 3 machines and unit-length jobs. In a recent breakthrough, Levey and Rothvoss gave a $(1+ε)$-approximation algorithm, which runs in nearly quasi-polynomial time, for the case when job have unit lengths. However, a substantially more difficult case where jobs have arbitrary processing lengths has remained open. We make progress on this more general problem. We show that there exists a $(1+ε)$-approximation algorithm (with similar running time as that of Levey and Rothvoss) for the non-migratory setting: when every job has to be scheduled entirely on a single machine, but within a machine the job need not be scheduled during consecutive time steps. Further, we also show that our algorithmic framework generalizes to another classic scenario where, along with the precedence constraints, the jobs also have communication delay constraints. Both of these fundamental problems are highly relevant to the practice of datacenter scheduling.

研究の動機と目的

• 定数台の同一マシン上で先行順序制約を伴うジョブのスケジューリングにおける近似可能性のギャップを埋める。
• 単位長ジョブに限った$(1+\epsilon)$-近似フレームワークを、非移行的設定における任意長ジョブへ拡張する。
• 通信遅延制約を含めるアルゴリズムフレームワークの一般化を図り、データセンタワークロードにおいて重要な要因を反映する。
• Sherali-AdamsのようなLP階層が、任意ジョブ長のより難しいケースに対して定数近似比を達成できるかを検討する。
• 先行順序および通信遅延といった現実的な制約をモデル化することで、実用的データセンタースケジューリングの理論的基盤を提供する。

提案手法

• スケジューリング問題の基本的なLP緩和を、Sherali-Adams階層により$(\log n)^{O_{m,\epsilon}(\log \log n)}$レベルまでリフトすることで、$(1+\epsilon)$-近似を達成する。
• ジョブを時間スロットに複数回重複させることで、マシン内での非連続スケジューリングをモデル化する時間拡張グラフ上に分数解を設計する。
• 処理長に基づくジョブの階層的分解を用い、時間区間ごとのスケジューリング可能性をグループ化・分析する。
• 順序制約および通信遅延を尊重する確率的ラウンド方式を適用し、適切な順序付けと遅延処理を保証する。
• 整数性ギャップをバウンドし近似保証を証明するために、区間部分集合に対する被覆的議論と二重数え上げを導入する。
• $1|r_j,d_j|\sum p_j U'_j$問題のギャップインスタンスを構築し、低レベルのSherali-Adamsリフトが耐性を示すことを示す。このインスタンスは$P2|\text{prec}|C_{\max}$問題に還元される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sherali-AdamsのようなLP階層は、先行順序制約下での任意ジョブ長に対するマキシマムスケジューリング最小化問題に対して$(1+\epsilon)$-近似を達成できるか？
• RQ2 ジョブが1台のマシンに割り当てられるが、必ずしも連続して実行されない非移行的制約は、完全プリエンプティブまたは非プリエンプティブ設定よりも良い近似を可能にするか？
• RQ3 このフレームワークは、データセンタワークロードにおける依存ジョブ間の通信遅延を含めるように拡張可能か？
• RQ4 低レベルのSherali-Adamsリフトでは、$P2|\text{prec}|C_{\max}$問題に対して小さな整数性ギャップを達成する根本的障壁があるか？
• RQ5 ギャップインスタンスにおけるジョブウィンドウのラミナ構造は、効率的な動的計画法の適用を妨げ、その結果として階層の能力を制限するか？

主な発見

• 本稿は、任意ジョブ長を伴う$Pm|\text{prec}, \text{non-migratory}|C_{\max}$問題に対して、ほぼ準多項式時間で動作する$(1+\epsilon)$-近似アルゴリズムを提示する。
• このアルゴリズムは、Sherali-Adams階層を用いて自然なLP緩和を$O_{m,\epsilon}(\log n)^{O(\log \log n)}$レベルまでリフトすることで達成される。
• フレームワークは通信遅延制約の組み込みを一般化でき、実世界のデータセンタースケジューリングワークロードに適用可能である。
• 著者らは、$1|r_j,d_j|\sum p_j U'_j$問題のギャップインスタンスを構築し、$o(\log n)$-レベルのSherali-Adamsリフトに耐性を示すことを示した。これは、このような問題に対して階層の本質的限界を示唆する。
• ナップサック型問題から$P2|\text{prec}|C_{\max}$問題への還元により、LPの整数性ギャップが低レベルで大きいことが示されたが、スケジューリング問題の正確なギャップは未解決のままである。
• 本研究は、非移行的スケジューリングにおける任意ジョブ長に対する$(1+\epsilon)$-近似が可能であることを示し、単位長ジョブに限った先行研究を拡張することで、長年の未解決問題を解決した。