[論文レビュー] Higgs bundles over elliptic curves for complex reductive Lie groups

Emilio Franco, Oscar Garcı́a-Prada+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、任意の複素再帰的群 $G$ に対して、楕円曲面上の $G$-Higgs バンドルのモジュライ空間を完全に記述する。Thaddeus の以前の、自明な次数に限った研究を一般化したものであり、非アーベルHodge理論とHitchinのファイブレーションを用いて、モジュライ空間が楕円曲線と格子の積の商（Weyl群作用を除く）と同型であることを示し、Zariskiの主定理を用いて、射影的に平坦な接続のモジュライ空間の正規化を証明する。

ABSTRACT

We study Higgs bundles over an elliptic curve with complex reductive structure group, describing the (normalization of) its moduli spaces and the associated Hitchin fibration. The case of trivial degree is covered by the work of Thaddeus in 2001. Our arguments are different from those of Thaddeus and cover arbitrary degree.

研究の動機と目的

• 楕円曲面上の任意の次数 $d$ および複素再帰的群 $G$ に対して、$G$-Higgs バンドルのモジュライ空間 $\mathcal{M}(G)_d$ を記述すること。
• 2001年のThaddeusの結果（自明な次数に限る）を、異なる手法を用いて任意の次数に一般化すること。
• 射影的に平坦な $G$-接続のモジュライ空間 $\mathcal{C}(G)_d$ の正規化を、商空間からの双対的準同型を用いて確立すること。
• Hitchinファイブレーションが $G$-Higgs バンドルのモジュライ空間上で代数的に完全に可積分系であることを証明すること。

提案手法

• 非アーベルHodge対応を用いて、$G$-Higgs バンドル、射影的に平坦な接続、基本群の表現を関連付ける。
• Lie代数 $\mathfrak{g}$ の不変多項式を用いて定義されるHitchinファイブレーションを適用し、$\mathcal{M}(G)_d$ を基底 $B_G \cong \bigoplus H^0(X, \mathcal{O}_X^{\otimes \deg(p_i)})$ にマッピングする。
• 楕円曲線の双対 $X^\sharp$ と、レヴィ部分群の中心に関連する格子 $\Lambda_{\overline{S}_c}$ を用いた、$X^\sharp \otimes_{\mathbb{Z}} \Lambda_{\overline{S}_c}$ をパrameterとする射影的に平坦な $G$-接続の族を構成する。
• Zariskiの主定理を用いて、商空間 $ (X^\sharp \otimes_{\mathbb{Z}} \Lambda_{\overline{S}_c}) / W_c $ から $\mathcal{C}(G)_d$ への双対的準同型が、$\mathcal{C}(G)_d$ の正規化への同型であることを示す。
• ユニタリ表現および楕円曲面上の $G$-バンドルに関する結果（特に $M(G)_d$ が $ (X \otimes_{\mathbb{Z}} \Lambda_{G,d}) / W_{G,d} $ の形の商として記述されること）を用いて、対応関係を構築する。
• コン pact 実形式 $K_c$ の元による共役を用いて、接続のゲージ同倣類を定義し、Higgs フィールドと形 $A_{(\rho,z)} = A_\rho + z\,dx + \tau(z)\,d\overline{x}$ の平坦接続を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のトポロジカル次数 $d$ および複素再帰的群 $G$ に対して、楕円曲面上の $G$-Higgs バンドルのモジュライ空間はどのように記述できるか？
• RQ2 射影的に平坦な $G$-接続のモジュライ空間 $\mathcal{C}(G)_d$ は、幾何学的および群論的データの観点からどのように構造を持つのか？
• RQ3 一般の $G$ に対して、$\mathcal{M}(G)_d$ 上のHitchinファイブレーションは代数的に完全に可積分系であるか？
• RQ4 $\mathcal{C}(G)_d$ の正規化は、楕円曲線と格子の積の商を用いて明示的に記述可能か？

主な発見

• 楕円曲面上の $G$-Higgs バンドルのモジュライ空間 $\mathcal{M}(G)_d$ は、射影的に平坦な $G$-接続のモジュライ空間 $\mathcal{C}(G)_d$ の正規化と同型である。
• $\mathcal{C}(G)_d$ の正規化は、商 $ (X^\sharp \otimes_{\mathbb{Z}} \Lambda_{\overline{S}_c}) / W_c $ で与えられる。ここで $X^\sharp$ は楕円曲線の双対、$\Lambda_{\overline{S}_c}$ はレヴィ部分群の中心に関連する格子、$W_c$ はそのレヴィのWeyl群である。
• モジュライ空間 $\mathcal{M}(G)_d$ 上のHitchinファイブレーションは、Hitchin基底の構造とファイブレーションの性質から、代数的に完全に可積分系であることが示された。
• 本研究は、楕円曲線における非アーベルHodge対応の新しい証明を提供し、Thaddeusの結果を自明な次数に限らない一般の場合にまで拡張した。
• 商空間 $ (X^\sharp \otimes_{\mathbb{Z}} \Lambda_{\overline{S}_c}) / W_c $ から $\mathcal{C}(G)_d$ への双対的準同型は、Zariskiの主定理により、正規化への同型であることが証明された。
• $G = \operatorname{GL}(n,\mathbb{C})$ または $\operatorname{SL}(n,\mathbb{C})$ かつ $d=0$ の場合、$\mathcal{C}(G)_0$ の正規性から、同型はスキームの同型である。