[論文レビュー] High-frequency market-making for multi-dimensional Markov processes

Pietro Fodra, Mauricio Labadie|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、在庫リスク、取引コスト、および方向性ベットを確率的制御を用いて組み込んだ多変数マルコフ過程における高頻度市場メイキング戦略を開発する。在庫リスクに関して1次までの摂動解をハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式に対して明示的に得ており、最適スプレッドが取引コストを補填するために拡大するが、1取引あたりの期待利益は一定のままであることを示している。また、相関するリスクペナルティ下で最適在庫ベクトルがL²ノルムによって決定されることを示している。

ABSTRACT

In this paper we complete and extend our previous work on stochastic control applied to high frequency market-making with inventory constraints and directional bets. Our new model admits several state variables (e.g. market spread, stochastic volatility and intensities of market orders) provided the full system is Markov. The solution of the corresponding HJB equation is exact in the case of zero inventory risk. The inventory risk enters into play in two ways: a path-dependent penalty based on the volatility and a penalty at expiry based on the market spread. We perform perturbation methods on the inventory risk parameter and obtain explicitly the solution and its controls up to first order. We also include transaction costs; we show that the spread of the market-maker is widened to compensate the transaction costs, but the expected gain per traded spread remains constant. We perform several numerical simulations to assess the effect of the parameters on the PNL, showing in particular how the directional bet and the inventory risk change the shape of the PNL density. Finally, we extend our results to the case of multi-aset market-making strategies; we show that the correct notion of inventory risk is the L2-norm of the (multi-dimensional) inventory with respect to the inventory penalties.

研究の動機と目的

• 一般マルコフ的枠組みの下で、複数の状態変数を含む高頻度市場メイキングモデルを拡張すること。
• 確率的制御設定において、経路依存的および満期依存的在庫リスクペナルティを組み込むこと。
• 取引コストが市場メイカーのスプレッドおよび期待利益に与える影響を分析すること。
• 相関するリスクペナルティ下で、在庫ベクトルのL²ノルムを用いて多資産戦略への最適制御フレームワークを一般化すること。
• 在庫リスクに関してHJB方程式の摂動解を1次まで明示的に得ることで、実用的な数値実装を可能にすること。

提案手法

• 中央価格、スプレッド、ボラティリティ、在庫ダイナミクスを含む多変数マルコフ過程の一般HJB方程式を定式化する。
• 価値関数を在庫および状態変数の関数として表すために、アンサッツを適用し、HJB方程式を解ける形に簡略化する。
• HJB方程式のジャンプ項を最大化することで、BidおよびAskスプレッドの最適制御を導出する。これにより、価値関数の差分を含む明示的表現が得られる。
• 在庫リスクパラメータεに関する摂動法を用いて、検証方程式を1次まで解き、解析的扱いやすさを実現する。
• 取引コストを組み込むために、スプレッドが比例的に拡大するが、1取引あたりの期待利益は不変のままであることを示す。
• 対称的かつ正定値のリスクペナルティ行列ΩおよびΛを用いた在庫ベクトルのL²ノルムを用いて、多資産戦略へのモデル拡張を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 在庫制約を伴う一般多変数マルコフ状態過程下で、高頻度市場メイキング戦略をどのように定式化できるか。
• RQ2 経路依存的および満期依存的在庫リスクペナルティが最適市場メイキング戦略に与える影響は何か。
• RQ3 取引コストは最適Bid-Askスプレッドおよび1取引あたりの期待利益にどのように影響するか。
• RQ4 多資産市場メイキングにおいて、在庫リスクはどのように測定すべきか。また、相関はどのような役割を果たすか。
• RQ5 在庫リスクが小さい場合、最適制御方策の構造はどのようなものか。また、摂動法を用いてどのように近似できるか。

主な発見

• 最適スプレッドψ_α∗は相互相関に依存しないが、最適中心r_α∗は行列π̃を介して方向性ベットと在庫露出を組み込んでいる。
• 取引コストの影響により最適スプレッドが拡大するが、1取引あたりの期待利益は一定のままである。これは利益圧縮なしにコストを転嫁できることを示している。
• 在庫リスクが小さい（ε）場合、HJB方程式の解が1次まで明示的に導出可能であり、摂動技法を用いた実用的実装が可能である。
• 最適在庫ベクトルは、2次形式q′Ωq + ∫q′Λq dξの最小化によって決定され、これは楕円型のリスク表面を定義し、相関が存在する場合に分散投資を促進する。
• 正の相関ρを示す2資産の場合、(1,−1)の構成は(2,0)や(1,1)よりもリスクが低く、長短ヘッジの利点を示している。
• 絶対在庫を最小化するのではなく、相関するペナルティによってリスクを測定する場合、リスクノルムを低減できるため、市場メイカーはより高い絶対在庫を好むことがある。これは(2,−1)対(2,0)の例で示されている。