[論文レビュー] High-order difference and pseudospectral methods for discontinuous problems

C. Markakis, Leor Barack|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2014

Differential Equations and Numerical Methods被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、関数およびその導関数のジャンプが既知である場合に、ラグランジュ補間を補正することによって、不連続解を有する偏微分方程式（PDE）を高次精度で解く数値法を提示する。標準的な有限差分法または擬譜法の行列を、これらのジャンプを組み込むように修正することにより、不連続性が存在する場合でもスペクトル精度を達成でき、移動する波frontや衝撃波を伴う時間発展PDEの効率的かつ高精度な解法が可能になる。

ABSTRACT

High order finite-difference or spectral methods are typically problematic in approximating a function with a jump discontinuity. Some common remedies come with a cost in accuracy near discontinuities, or in computational cost, or in complexity of implementation. However, for certain classes of problems involving piecewise analytic functions, the jump in the function and its derivatives are known or easy to compute. We show that high-order or spectral accuracy can then be recovered by simply adding to the Lagrange interpolation formula a linear combination of the jumps. Discretizations developed for smooth problems are thus easily extended to nonsmooth problems. Furthermore, in the context of one-dimensional finite-difference or pseudospectral discretizations, numerical integration and differentiation amount to matrix multiplication. We construct the matrices for such operations, in the presence of known discontinuities, by operating on the corrected Lagrange formula. In a method-of-lines framework, this provides a simple and efficient way to obtain solutions with moving discontinuities to evolution partial differential equations.

研究の動機と目的

• ジャンプ不連続性を有する問題を解く際、有限差分法および擬譜法で生じる高次精度の喪失を是正すること。
• 滑らかでない解を、既知のジャンプを伴って扱える、既存の滑らかな問題に対する離散化手法の単純かつ効率的な拡張を開発すること。
• 移動する不連続性を有する時間依存PDEに対して、方法論的ラインズ（method-of-lines）フレームワークを用いて高次精度を達成すること。
• ジャンプ補正を組み込んだまま、微分および積分の行列作用素を構築し、スペクトル収束性を維持すること。

提案手法

• 関数およびその導関数の既知のジャンプを加えることで、標準的なラグランジュ補間公式を修正する。
• ジャンプ不連続性から解析的に補正項を導出し、これらは既知または容易に計算可能であると仮定する。
• 有限差分法または擬譜法の行列を、補正された補間公式を適用することで再定義し、微分および積分作用素を構築する。
• 得られた行列を、移動する不連続性を有する時間依存PDEを解くための方法論的ラインズフレームワークに用いる。
• 標準的なスペクトル法の構造を保ちつつ、不連続性付近でも高次精度を確保する。
• 補間関数にジャンプ情報を直接埋め込むことで、適応メッシュ生成、領域分割、複雑な界面追跡を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知のジャンプ不連続性を有するPDEを解く際、スペクトル法および有限差分法で高次精度を維持できるか。
• RQ2 標準的なスペクトル行列を、効率性や精度を損なわずに不連続性情報を組み込むようにどのように修正できるか。
• RQ3 ジャンプ補正が、擬譜法離散化の条件数および安定性に与える影響は何か。
• RQ4 この手法は、移動する波frontを伴う時間発展PDEに対して、方法論的ラインズフレームワークにスムーズに統合可能か。

主な発見

• 既知のジャンプを補間公式に組み込むことで、ジャンプ不連続性を有する問題においてスペクトル精度を回復する。
• 補正項は解析的に導出され、標準的なラグランジュ補間に対して線形結合として加えられ、高次収束性が保持される。
• 補正された補間を用いて微分および積分の行列作用素が構築され、時間発展PDEの効率的解法が可能になる。
• 移動する不連続性が存在する場合でも、空間および時間方向の両方で高次精度が達成され、複雑な数値処理を要しない。
• 計算的に効率的であり、標準的なスペクトル法の単純さを保ちながら、高価な再メッシュ生成や適応的リメッシュを回避する。