[論文レビュー] High-Order Extended Finite Element Methods for Solving Interface Problems

Fei Wang, Yuanming Xiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、任意の次数の精度を達成するための、不連続ガレルキン法（DG）に基づく高次拡張有限要素法（XFE）を提示する。楕円型界面問題に対して、各々の部分領域における$H^1$-ノルムおよび$L^2$-ノルムで最適な誤差推定を確立し、安定化パラメータを「十分に大きい」ものとする必要がない、パラメータにやさしいDG-XFEM法を導入。この手法は、厳密な解析と数値実験により検証されている。

ABSTRACT

In this paper, we study arbitrary order extended finite element (XFE) methods based on two discontinuous Galerkin (DG) schemes in order to solve elliptic interface problems in two and three dimensions. Optimal error estimates in the piecewise $H^1$-norm and in the $L^2$-norm are rigorously proved for both schemes. In particular, we have devised a new parameter-friendly DG-XFEM method, which means that no "sufficiently large" parameters are needed to ensure the optimal convergence of the scheme. To prove the stability of bilinear forms, we derive non-standard trace and inverse inequalities for high-order polynomials on curved sub-elements divided by the interface. All the estimates are independent of the location of the interface relative to the meshes. Numerical examples are given to support the theoretical results.

研究の動機と目的

• 不連続係数を有する楕円型界面問題を解くための高次拡張有限要素法の開発。
• 不適合メッシュ上でも$H^1$および$L^2$ノルムにおける最適収束率の確保。
• DG-XFEMスキームにおいて「十分に大きな」安定化パラメータの必要性を排除。
• 界面のメッシュに対する位置に依存しない、強固な誤差推定の確立。
• 2次元および3次元の曲面界面における理論的結果の数値的検証。

提案手法

• 不適合メッシュ上での拡張有限要素法（XFEM）に適した2つの不連続ガレルキン（DG）スキームを定式化。
• 安定化パラメータを「十分に大きく」する必要がない、新たなパラメータにやさしいDG-XFEM定式化を導入。
• 界面によって生成される曲面部分要素上における高次多項式のための非標準的トレースおよび逆不等式を導出。
• 界面を越える連続性およびジャンプ条件を弱い形で強制するニツェ法を用いる。
• 双対問題に基づく双対性論法を用いて$L^2$-ノルム誤差推定を導出。
• エネルギーノルムおよび$L^2$ノルムにおける整合性誤差を抑えられる、新規の補間作用素$\Pi_h$を導入。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次XFEMにDG安定化を適用することで、不適合メッシュ上での楕円型界面問題に対して最適収束を達成できるか？
• RQ2 提案されたDG-XFEMスキームは、「十分に大きな」安定化パラメータが不要な状態で最適収束を維持できるか？
• RQ3 曲面界面を有する不適合メッシュ上でも、高次法における$H^1$および$L^2$ノルムの最適誤差推定を厳密に証明できるか？
• RQ4 誤差推定は、界面のメッシュに対する位置に依存しないか？
• RQ5 数値実験により、多項式次数や係数のジャンプが変化しても理論的収束率が確認できるか？

主な発見

• 両方のDG-XFEMスキームに対して、多項式次数を$p$として、$H^1$-ノルム誤差推定が$O(h^p)$の最適性が証明された。
• 対称スキーム（$\beta=1$）に対して、双対性論法を用いて$L^2$-ノルム誤差推定が$O(h^{p+1})$の最適性が確立された。
• 提案されたパラメータにやさしいDG-XFEM法は、安定化パラメータを「十分に大きく」する必要がない状態で最適収束を保証する。
• 曲面部分要素上における高次多項式のための非標準的トレースおよび逆不等式が導出され、安定性および最適収束の証明に用いられた。
• 数値結果により、$p=1,2,3$の各々について、$H^1$-ノルムで$O(h^p)$、$L^2$-ノルムで$O(h^{p+1})$の収束が確認された。異なる係数比に対しても同様の結果が得られた。
• 誤差推定は、界面がメッシュをどのようにカットするかに依存しないため、界面位置に対してロバストである。