[論文レビュー] High order expansion of matrix models and enumeration of maps

Édouard Maurel-Segala|ArXiv.org|Aug 8, 2006

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、GUEに対する小さな凸な摂動を伴う多行列ランダム行列モデルに対して、厳密な genus 展開を確立する。シュヴィンガー＝ダイソン方程式と組合せ的解析を用いて、自由エネルギーが $N^2$ の逆数のべき級数として漸近展開可能であることを証明し、各係数が genus が高まる表面へのマップを生成することを示す。これは、ガウス型から非ガウス型ポテンシャルへの先行結果の一般化である。

ABSTRACT

Perturbation of the GUE are known in physics to be related to enumeration of graphs on surfaces. We investigate this idea and show that for a small convex perturbation, we can perform a genus expansion: the moments of the empirical measure can be developed into a series whose g-th term is a generating function of graphs on a surface of genus g.

研究の動機と目的

• ガウス型（GUE）の場合を超えて、GUEに対する小さな凸な摂動に対して、行列モデルのモーメントの genus 展開を拡張すること。
• 物理学で用いられる形式的 genus 展開の数学的基盤を、特に非ガウス型ポテンシャルを持つモデルに対して提供すること。
• 摂動された行列モデルの自由エネルギーが、$1/N^{2g}$ のべき級数として漸近展開可能であり、各項が genus $g$ の表面へのマップを生成することを確立すること。
• 正規直交多項式を避ける非摂動的アプローチを用いて、この展開における係数が、指定された頂点型を持つ根付きマップの生成関数であることを証明すること。
• 展開の収束領域を、小さな結合定数およびポテンシャルの $c$-凸性の観点から特定すること。

提案手法

• 行列モデルにおけるモーメントおよびコマリントの再帰的関係を導出するための中心的分析的道具としてシュヴィンガー＝ダイソン方程式を用いる。
• ガウス型の場合の一般化として、Wick計算と組合せ的技法を用いて、モーメントを表面へのマップの和として解釈する。
• 測度の存在および $N$ に一様に制御可能であることを保証するため、ポテンシャル $V$ に $c$-凸性条件を課す。
• 結合パラメータ $t_i$ における摂動展開を導入し、小さな半径の多変数円板 $B_{\rho,c}$ 内で収束が保証される。
• 各 $\mathcal{I}_k$ および $\nu^N$ の階層的作用素を用いて、スペクトル測度の導関数を反復的に制御し、$N$ に依存しないバインドを得る。
• 導関数 $\mathcal{D}_{\bf j}\nu^N$ の分解を用いて、展開の各項が genus $g$ のマップの生成関数に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス型の場合を超えて、非ガウス型で小さな摂動を伴う行列モデルのモーメントの genus 展開を、数学的に厳密に拡張することは可能か？
• RQ2 多行列設定において、ポテンシャル $V$ がどのような条件下で genus 展開の存在と収束を保証するか？
• RQ3 この $1/N^{2g}$ 展開における係数を、genus $g$ の表面へのマップの生成関数として、どのように組合せ的に解釈できるか？
• RQ4 多行列の場合において、正規直交多項式の手法を避けても、genus 展開を導出することは可能か？
• RQ5 自由エネルギーの結合パrameter $t_i$ における解析的領域の正確な範囲は何か？ その範囲で genus 展開が成立する。

主な発見

• 任意の $g \in \mathbb{N}$ に対して、$\eta_g > 0$ が存在し、すべての結合ベクトル $\mathbf{t} \in B_{\eta_g,c}$ に対して、自由エネルギーが展開 $F^N_{V_\mathbf{t}} = F^0(\mathbf{t}) + \frac{1}{N^2}F^1(\mathbf{t}) + \cdots + \frac{1}{N^{2g}}F^g(\mathbf{t}) + o(\frac{1}{N^{2g}})$ を持つ。
• $F^g(\mathbf{t})$ は、$k_i$ 個の型 $q_i$ の頂点を持つ根付きマップの生成関数であり、$\mathcal{C}_g^{\mathbf{k}+\mathbf{j}}(q_{i_1},\dots,q_{i_p})$ を用いて数え上げられる。
• $g$ 階の係数 $F^g(\mathbf{t})$ は、明示的に $\sum_{\mathbf{k}} \prod_i \frac{(-t_i)^{k_i}}{k_i!} \mathcal{C}_g^{\mathbf{k}+\mathbf{j}}(q_{i_1},\dots,q_{i_p})$ と与えられ、ここで $\mathcal{C}_g^{\mathbf{k}+\mathbf{j}}$ は指定された頂点型を持つマップの数を数える。
• 展開は、ポテンシャル $V$ が $c$-凸性を満たす $\mathbf{t} = 0$ の近傍で有効であり、一様凸性と解析性を保証する。
• 正規直交多項式を避けており、シュヴィンガー＝ダイソン方程式とスペクトル測度の導関数の反復的制御に依存する。
• この結果により、物理学で形式的に行われてきた genus 展開が、$1/N^2$ におけるトポロジカル展開としての形式的図式が、多行列モデルにおいて数学的に厳密に裏付けられた。