[論文レビュー] Invariants of algebraic curves and topological expansion

Benoît Eynard, Nicolas Orantin|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Feb 14, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、正則微分形式およびリーマン双線形恒等式から導かれる、任意の代数曲線に対する普遍的な不変量—自由エネルギー $F^{(g)}$—を導入する。これらの不変量は、位相的展開を通じて形式的 $\tau$-関数を生成し、行列モデルの $1/N^2$ 展開を普遍的に記述する。これは、コンツェビッチ積分を含む行列モデルの展開を記述するものであり、シンプレクティック不変性とヒロタ方程式の構造により、これが KdV $\tau$-関数であることが証明される。

ABSTRACT

For any arbitrary algebraic curve, we define an infinite sequence of invariants. We study their properties, in particular their variation under a variation of the curve, and their modular properties. We also study their limits when the curve becomes singular. In addition we find that they can be used to define a formal series, which satisfies formally an Hirota equation, and we thus obtain a new way of constructing a tau function attached to an algebraic curve. These invariants are constructed in order to coincide with the topological expansion of a matrix formal integral, when the algebraic curve is chosen as the large N limit of the matrix model's spectral curve. Surprisingly, we find that the same invariants also give the topological expansion of other models, in particular the matrix model with an external field, and the so-called double scaling limit of matrix models, i.e. the (p,q) minimal models of conformal field theory. As an example to illustrate the efficiency of our method, we apply it to the Kontsevitch integral, and we give a new and extremely easy proof that Kontsevitch integral depends only on odd times, and that it is a KdV tau-function.

研究の動機と目的

• 任意の代数曲線に対して、その背後に存在するモデルとは独立した無限列の不変量 $F^{(g)}$ を定義すること。
• これらの不変量が、外部場を伴う行列モデルやダブルスケールモデルを含む、多様な行列モデルの位相的展開を再現すること。
• 曲線の幾何から形式的 $\tau$-関数を構成し、ヒロタ方程式を満たし、可積分構造を示すこと。
• コンツェビッチ積分が奇数の時間にのみ依存し、シンプレクティック不変性による $F^{(0)}$ と $F^{(1)}$ の性質により KdV $\tau$-関数であることを証明すること。

提案手法

• ベルグマン核および原始形式を用いて、代数曲線上の正則微分形式の留数として自由エネルギー $F^{(g)}$ を定義する。
• ループ挿入作用素および曲線上の線積分を用いて、相関関数 $W_{g,n}$ を再帰的に構成する。
• リーマン双線形恒等式およびラウヒ変分公式を用いて、モジュライパラメータおよび $\tau$-関数の変化における変換則を導出する。
• 位相的再帰形式を用いて、行列モデルの古典的スペクトル曲線から $F^{(g)}$ および $W_{g,n}$ を計算する。
• 曲線の変形に対して普遍的であることを保証するため、$F^{(0)}$ および $F^{(1)}$ のシンプレクティック不変性を証明する。
• 得られた級数がヒロタ双線形方程式を満たすことを証明し、可積分性および $\tau$-関数構造を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の代数曲線に対して、その行列モデルからの起源とは独立した普遍的な不変量の集合を定義できるか？
• RQ2 これらの不変量は、コンツェビッチ積分や他の行列モデルの位相的展開を再現するか？
• RQ3 得られた生成関数は、ヒロタ方程式を満たす $\tau$-関数であるか？
• RQ4 不変量はモジュラー変換および曲線のモジュライパラメータの変化に対してどのように変化するか？
• RQ5 自由エネルギー $F^{(0)}$ および $F^{(1)}$ に対してシンプレクティック不変性を証明できるか？これにより普遍性が保証されるか？

主な発見

• 不変量 $F^{(g)}$ は、正則微分形式の留数として任意の代数曲線に対して定義され、普遍的な変換則を満たす。
• 外部場を伴う行列モデルの位相的展開は、スペクトル曲線から導かれる不変量と一致し、普遍性が確認される。
• コンツェビッチ積分は奇数の時間にのみ依存し、$F^{(0)}$ および $F^{(1)}$ のシンプレクティック不変性により KdV $\tau$-関数であることが証明される。
• 自由エネルギー $F^{(0)}$ はホモロジー圏のシンプレクティック変換に対して不変であり、普遍性のための重要な性質である。
• 全級数 $F = ∑_g N^{-2g} F^{(g)}$ はヒロタ双線形方程式を満たし、可積分構造が確認される。
• 相関関数 $W_{g,n}$ はループ挿入を再帰的に用いて計算され、2行列モデルや外部場モデルにおける既知の結果と一致する。