[論文レビュー] High order symplectic integrators based on continuous-stage Runge-Kutta Nystrom methods

Wensheng Tang, Yajuan Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2015

Numerical methods for differential equations参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ルジャンドル多項式展開を用いて、2階ハミルトニアン系の高次のシンプレクティック積分法を構築する新しい技法を提示する。この手法により、次数条件の簡略化が可能となり、ブテーラー係数の直交級数展開を切断することで、複雑な非線形代数方程式を解くことなく、高次のシンプレクティック・ルンゲ＝クッタ＝ニーストローム（RKN）法を体系的かつ効率的に導出できる。これにより、構造調整が可能な自由パラメータを有する3ステップ、6次シンプレクティックRKN法の族が得られる。

ABSTRACT

On the basis of the previous work by Tang \& Zhang (Appl. Math. Comput. 323, 2018, p. 204--219), in this paper we present a more effective way to construct high-order symplectic integrators for solving second order Hamiltonian equations. Instead of analyzing order conditions step by step as shown in the previous work, the new technique of this paper is using Legendre expansions to deal with the simplifying assumptions for order conditions. With the new technique, high-order symplectic integrators can be conveniently devised by truncating an orthogonal series.

研究の動機と目的

• 2階ハミルトニアン系の高次シンプレクティック積分法を構築するより効率的な手法を開発すること。
• 先行研究における段階的次数条件解析の計算負荷を克服すること。
• 直交級数展開を用いた再定式化により、シンプレクティック積分法の導出を簡略化すること。
• ルジャンドル級数展開の切断を通じて、高次法の体系的構築を可能にすること。
• ブテーラー係数における自由パラメータの導入により、明示的または準明示的構造を持つ積分法の設計を可能にすること。

提案手法

• 本手法は、連続的段数RKN法のブテーラー係数をルジャンドル多項式展開で表現する。
• シンプレクティック性と次数条件の単純化仮定を、直交級数展開の形に再定式化する。
• これらの直交級数展開を切断することで、高次シンプレクティック積分法を構築する。
• 定理3.7を活用し、次数条件とシンプレクティック性制約のルジャンドル展開を直接関連付ける。
• 3点ガウス求積公式などの求積公式を用いて、連続的段数形式から標準的RKN法を導出する。
• 係数展開に自由パラメータを導入することで、明示的または準明示的構造への調整が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルジャンドル多項式展開を用いることで、高次シンプレクティック積分法の次数条件とシンプレクティビティ制約を体系的に簡略化できるか？
• RQ2 段階的次数条件解析に代えて、より効率的に高次シンプレクティックRKN法を構築することは可能か？
• RQ3 ブテーラー係数における自由パラメータを用いて、明示的または準明示的シンプレクティック積分法を設計する方法は何か？
• RQ4 この新技術により、先行研究で得られたすべてのシンプレクティック積分法を回復し、新たな族に拡張できるか？
• RQ5 直交級数の切断が、得られるRKN法の次数およびシンプレクティビティに与える影響は何か？

主な発見

• 新技術により、ブテーラー係数のルジャンドル級数展開を切断することで、煩わしい段階的次数条件解析を回避し、高次シンプレクティック積分法の構築が可能となった。
• 本手法は、体系的な直交級数展開の切断を通じて、先行研究[37]で提示されたすべてのシンプレクティック積分法を成功裏に回復した。
• 3点ガウス求積を用いて、3ステップ、6次シンプレクティックRKN法の族が導出され、ブテーラー表が明示的に提示された。
• 係数行列に自由パラメータθを導入できるため、明示的または準明示的バージョンの設計が可能となった。
• 本手法は、複雑な非線形方程式系を解くことなく、直交級数の切断によってシンプレクティビティと高次精度を同時に達成できることを示した。
• 本手法は、連続的段数RKN形式を用いて、任意の高次シンプレクティック積分法を構築する一般枠組みを提供する。