[論文レビュー] High Performance Quantum Modular Multipliers

Rich Rines, Isaac L. Chuang|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、古典的手法—標準除算、モンゴメリー還元、バーレット還元—を応用した、3つの新規の可逆量子モジュラー乗算器を提示している。これらは非モジュラー整数乗算と同等の漸近的リソース複雑度を達成している。特にフーリエ基底バージョンは、14nの2キュービットゲートの回路深さを実現し、2n + O(log n)のキュービットのみを必要としており、従来の正確な量子モジュラー乗算器に比べて深さとアスクィリティキュービットの使用量で優れている。また、近似を伴わず正確な結果を保っている。

ABSTRACT

We present a novel set of reversible modular multipliers applicable to quantum computing, derived from three classical techniques: 1) traditional integer division, 2) Montgomery residue arithmetic, and 3) Barrett reduction. Each multiplier computes an exact result for all binary input values, while maintaining the asymptotic resource complexity of a single (non-modular) integer multiplier. We additionally conduct an empirical resource analysis of our designs in order to determine the total gate count and circuit depth of each fully constructed circuit, with inputs as large as 2048 bits. Our comparative analysis considers both circuit implementations which allow for arbitrary (controlled) rotation gates, as well as those restricted to a typical fault-tolerant gate set.

研究の動機と目的

• 非モジュラー整数乗算と同等の漸近的リソース複雑度を持つ可逆量子モジュラー乗算器の設計。
• 従来のフーリエ基底アプローチで見られる繰り返し比較演算および高コストなQFT/QFT†回路の必要性を排除。
• 近似を伴わず正確なモジュラー乗算を実現し、量子アルゴリズムにおける忠実度を保持。
• 量子フーリエ変換基底での効率的な実装を可能にし、アスクィリティキュービットのオーバーヘッドを低減。
• 故障耐性ゲートセットおよびスケーラブルな量子アーキテクチャと互換性を持つフレームワークの提供。

提案手法

• 標準除算、モンゴメリー還元、バーレット還元といった古典的手法を可逆量子回路に適応。
• 可逆アダーおよびサブトラクタをコアプリミティブとして採用し、異なる量子算術モデルへの統合を可能に。
• QFT/QFT†操作に高コストな深さを要する問題を回避するため、モンゴメリーおよびバーレット乗算器のフーリエ基底互換バージョンを設計。
• バーレット還元では事前計算された還元係数を、モンゴメリー算術ではN-リジデュー表現を用いて実行時における除算を排除。
• 入力蓄積器を2番目の量子入力に適応することで、アウト・オブ・プレイス型量子-量子モジュラー乗算器を構築。
• 任意回転ゲートおよび故障耐性ゲートセットの両方の下で、2048ビット入力における実験的リソース解析を実施。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な量子モジュラー乗算は、非モジュラー整数乗算と同等のリソース複雑度で達成可能か？
• RQ2 フーリエ基底算術を活用することで、モジュラー乗算器の回路深さとアスキリティキュービット数を低減可能か？
• RQ3 提案された乗算器は、従来の正確および近似型量子モジュラー乗算器と比較して、性能およびリソース使用量で優れているか？
• RQ4 正確性を損なわず、古典的手法を可逆量子回路に効果的に適応可能か？
• RQ5 フーリエ基底型と2進表現型の量子モジュラー乗算器の間で、ゲート数、回路深さ、キュービットオーバーヘッドのトレードオフはいかなるものか？

主な発見

• 提案されたモジュラー乗算器は、量子フーリエ変換基底で実装した場合、14nの2キュービットゲートの漸近的回路深さを達成しており、従来の正確なフーリエ基底乗算器（1000nゲート深さ）と比較して顕著な遅延低減を実現。
• 2n + O(log n)のキュービットのみを必要としており、ベオレジャードのフーリエ基底モジュラー加算器と同等の低アスキリティ数を達成。従来の正確乗算器（9nおよび3nのアスキリティキュービットを要する）を上回る。
• バーレットおよびモンゴメリー基盤の乗算器は、繰り返し比較演算および関連するQFT/QFT†回路の必要性を排除しており、これらがモジュラー加算に基づくアプローチで深さを支配していた要因を解消。
• フーリエ基底バージョンの乗算器は、12nゲート深さを有する最速の近似型量子モジュラー乗算器と同等の性能を発揮しながらも、正確性を保持し、近似による忠実度損失を回避。
• リソース解析により、提案手法が効率的にスケーリングすることを確認。総ゲート数および回路深さは、非モジュラー整数乗算器1つと漸近的に同等。
• このフレームワークは、GF(2^m)上のガロア体算術など、他の分野へも拡張可能であり、高速乗算や近似計算技術と組み合わせ可能。