[論文レビュー] Higher Abel-Jacobi Maps

Jishnu Biswas, Gautham Dayal+2 more|ArXiv.org|Oct 3, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アーベル・ジャコビ写像の代替として、絶対デリーニュ・ベイリソンコホモロジーと森光真のホッジモジュール理論を用い、チャウ群のフィルトレーションに関するブロークの予想を扱う。特異コホモロジーとアーベル・ジャコビ写像を統合するコホモロジー理論へのサイクル類写像を構成し、代数的サイクルが数体上に定義された多様体である場合、ブロークの予想がモチーフに関する標準的予想から従うことを示す。

ABSTRACT

This paper forms the major portion of a talk given at the International Colloquium on Arithmetic, Algebra and Geometry at TIFR, Mumbai in Jan 2000. We look at the problem of detecting cycles with trivial Abel-Jacobi invariant. M. Green proposed a Hodge-theoretic method to which C. Voisin found a counter-example. We present an easier example. We also propose another possible invariant to detect these classes using Hodge Theory. Similar methods have been proposed earlier by M. Asakura and M. Saito.

研究の動機と目的

• 複素数体の部分体上に定義された滑らかで射影的な多様体の代数的サイクルに対して、チャウ群のフィルトレーションに関するブロークの予想を扱う。
• グリーンのハイパーアーベル・ジャコビ写像の限界を克服する。グリーンの写像は、特定の非 torsion 要素を F²CH²(S) で検出できないことが反例によって示されている。
• ブロークとベイリソンが予想した、ハイパーエクステンション群 Ext^k(ℚ(−p), H^{2p−k}(V)) を実現する、デリーニュ・ベイリソンコホモロジーとホッジモジュールに基づくコホモロジー枠組みを構築する。
• チャウ群に正しいフィルトレーションを誘導する絶対デリーニュ・ベイリソンコホモロジーへのサイクル類写像を確立し、ホッジ理論的期待と整合性を持つ。
• 提案されたコホモロジー枠組みが有効であると仮定すると、数体上に定義された多様体に対して F²CHᵖ(V) = 0 であるというブロークの予想が、モチーフに関する標準的予想から従うことを示す。

提案手法

• 代数的サイクルが ℚ̄ ⊂ ℂ に含まれる体上に定義された多様体に対して、ホッジモジュールの枠組みを用いて、基底 S 上の族 𝒱 → S に対して相対 de Rham コホモロジー R^i_dR(𝒱/S) に混合ホッジ構造を構成する。
• カテゴリ内の混合ホッジモジュールの Ext 群を用いて、デリーニュ・ベイリソンコホモロジーを定義するためのスペクトル系列 Ext^b_MHM(S)(ℚ(c), R^a_dR(𝒱/S)) ⇒ Ext^{a+b}_MHM(𝒱)(ℚ(c), ℚ) を適用する。
• V が ℚ̄ 上のすべてのモデル 𝒱 → S の上での Ext^n_MHM(𝒱)(ℚ(c), ℚ) の直和限界として、絶対デリーニュ・ベイリソンコホモロジー H^n_ADb(V, ℚ(c)) を定義する。
• 特異サイクル類写像とアーベル・ジャコビ写像を統合するサイクル類写像 cl^p_ADb: CH^p(V) → H^{2p}_ADb(V, ℚ(p)) を構築する。
• スペクトル系列を用いて、CH^p(V) にフィルトレーションを誘導し、それがブローグのフィルトレーション F^kCH^p(V) と一致すると予想される。
• dim S ≥ 1 のとき、MHM(S) 内の Ext^2 群が非自明であるという事実に依拠し、高次の拡張を介してハイパーアーベル・ジャコビ写像を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合モチーフの圏において、Ext^k(ℚ(−p), H^{2p−k}(V)) の高次拡張群を実現するハイパーアーベル・ジャコビ写像を構成できるか？
• RQ2 グリーンのハイパーアーベル・ジャコビ写像は、複素数体上に定義された滑らかで射影的な曲面 S に対して、F²CH²(S) 内の要素を正しく検出できるか？
• RQ3 数体上に定義された多様体に対して F²CH^p(V) = 0 であるというブローグの予想は、コホモロジー枠組みを用いて標準的予想から導けるか？
• RQ4 絶対デリーニュ・ベイリソンコホモロジーによって誘導される CH^p(V) 上のフィルトレーションは、ブローグの予想されるフィルトレーションと整合性を持つか？
• RQ5 絶対デリーニュ・ベイリソンコホモロジー H^n_ADb(V, ℚ(c)) を用いて、サイクル類写像とアーベル・ジャコビ写像を統合し、チャウ群のフィルトレーションの完全な構造を捉えることができるか？

主な発見

• グリーンのハイパーアーベル・ジャコビ写像は、特定の滑らかで射影的な曲面 S に対して、F²CH²(S) 内の非 torsion 要素を検出できないことが、反例によって示された。
• 提案された絶対デリーニュ・ベイリソンコホモロジー H^{2p}_ADb(V, ℚ(p)) は、特異コホモロジーへのサイクル類写像とアーベル・ジャコビ写像を統合するコホモロジー枠組みを提供する。
• スペクトル系列 Ext^b_MHM(S)(ℚ(−p), R^a_dR(𝒱/S)) ⇒ Ext^{a+b}_MHM(𝒱)(ℚ(−p), ℚ) は、ブローグとベイリソンが予想した高次拡張群を実現する。
• サイクル類写像 cl^p_ADb: CH^p(V) → H^{2p}_ADb(V, ℚ(p)) は、CH^p(V) 上にフィルトレーションを誘導し、それがブローグのフィルトレーション F^kCH^p(V) と一致すると予想される。
• 提案されたコホモロジー枠組みが有効であると仮定すると、数体上に定義された多様体に対して F²CH^p(V) = 0 であるというブローグの予想は、モチーフに関する標準的予想から従う。
• この構成により、中間ジャコビアン J²₂(S) では検出できない F²CH²(S) 内の要素が、絶対デリーニュ・ベイリソンコホモロジーを介して検出可能であることが示され、古典的手法の主要な限界が解消された。