[論文レビュー] Higher conservation laws for the quantum non-linear Schroedinger equation

Brian Davies, V. E. Korepin|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2011

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、量子非線形シュレーディンガー方程式（QNLS）における高次保存則の整合性に関する長年の懸念を、量子逆散乱法（QISM）を用いて$H_3$および$H_4$の明示的表現を構築することで解決する。これらの演算子は、古典的対応物を正規順序化するのでは得られず、準古典的極限が正しいことが示され、QISMがQNLSに対して正当であることが確認される。

ABSTRACT

Quantum non-linear SCHROEDINGER equation is equivalent to Lieb-Liniger model. It has non-trivial conservation laws. Recently these conservation laws were used for evaluation of the three-body recombination rate for interacting gas of quantum bosons. These conservations laws were known already in 1989. Submitted text is retyping of the preprint of Centre for Mathematical Analysis of Australian National University CMA-R33-89. It was discussed in Leningrad Branch of the V.A. Steklov Mathematical Institute at that time. A copy of the original preprint can be found in the section Quantum Inverse Scattering Method of the web-page http://insti.physics.sunysb.edu/~korepin/

研究の動機と目的

• Gutkin（1985, 1988）が提起した、量子非線形シュレーディンガー方程式（QNLS）における高次保存則の整合性に関する懸念を解決すること。
• ナーブな正規順序化による問題を避けるために、第二量子化形式における高次ハミルトニアン$H_3$および$H_4$の明示的かつ明確な表現を構築すること。
• QISMが正しい高次積分を生成すること、およびそれらの準古典的極限が古典的期待と一致することを検証すること。
• 古典的展開の正規順序化による、基本的積分 $A(\lambda)$ の漸近展開を回復できない理由を明確にすること。
• 量子補正が$A(\lambda)$の展開に現れることを確立し、格子正則化が連続極限における特異性を扱う一貫性のある枠組みを提供すること。

提案手法

• QISMを用いて、第二量子化形式で$H_3$および$H_4$を明示的に構築し、$H_3 = \int dx\,\bigl\{\Psi^\dagger(x)\Psi_{xxx}(x) - \frac{3c}{2}\Psi^{\dagger}(x)^2(\Psi(x)^2)_x\bigr\}$とする。
• 特異な演算子積のため、$H_4$は古典的保存量$H_4^{\text{cl}}$の正規順序化では得られないことを示す。
• Betheアンザッツ固有関数$\chi_N$を用いて、$H_3$および$H_4$がそれぞれ固有値$i^3\sum \lambda_j^3$および$\sum \lambda_j^4$を持つことを確認する。
• $A(\lambda)$の逆べき級数における漸近展開を分析し、正規順序化では回復できないことを示す。
• $A(\lambda)$の自由ハミルトニアンおよび相互作用ハミルトニアンとの間隔性を用い、$x_j = x_k$における境界条件を用いて有効範囲を定義する。
• 連続極限における正則化と順序付けの曖昧さを解消するため、格子正則化を制御手段として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二量子化形式における高次ハミルトニアン$H_3$および$H_4$の明示的かつ明確な表現を構築できるか？
• RQ2 QISMから得られる高次保存則の準古典的極限は、古典的対応物と整合するか？
• RQ3 なぜ古典的$H_4^{\text{cl}}$の正規順序化では正しい量子$H_4$が得られないのか？
• RQ4 逆べき級数における基本的積分$A(\lambda)$の漸近展開は、古典的展開の正規順序化から回復できるか？
• RQ5 $A(\lambda)$の展開に量子補正が現れるのか？ もしそうなら、それらはQISMの構造とどのように関係するか？

主な発見

• 第二量子化形式における$H_3$は明示的に$H_3 = \int dx\,\bigl\{\Psi^\dagger(x)\Psi_{xxx}(x) - \frac{3c}{2}\Psi^{\dagger}(x)^2(\Psi(x)^2)_x\bigr\}$と与えられ、これは古典的$H_3^{\text{cl}}$の正規順序化では得られない。
• $H_4$は古典的$H_4^{\text{cl}}$のナーブな正規順序化に対応する形に書くことはできず、$\delta^2(x_1 - x_2)$のような未定義な積を生じる。
• 正しい$H_4$は、QISMおよび相互作用関係から得られ、形式的量子化による古典的式の生成ではない。
• $A(\lambda)$の逆べき級数における漸近展開は、正規順序化による導出では、粒子衝突点での特異性のため、正しい微分作用素を回復できない。
• $A(\lambda)$の展開に量子補正が現れ、$A_3$から始まり、古典的またはナーブな量子化手順では捉えられない。
• QISMはBetheアンザッツ固有関数およびその固有値と整合する保存則を生成し、以前の反論にもかかわらずこの手法の正当性が確認される。