[論文レビュー] Exact out-of-equilibrium steady states in the semiclassical limit of the interacting Bose gas

Giuseppe Del Vecchio Del Vecchio, Alvise Bastianello+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 123被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、1次元相互作用するボーズガスの古典的極限における、非線形シュレーディンガー方程式を用いた、遅い時間における定常状態を正確に解析的に計算するフレームワークを提示する。量子Lieb-Linigerモデルの半古典的極限を活用し、逆散乱法を適用することで、一般化ギブス集合（GGE）および密度演算子の全カウント統計の正確な表現が導出され、第一原理的な数値シミュレーションと照合された。これにより、この領域における古典的クエンチ問題が正確に解かれた。

ABSTRACT

We study the out-of-equilibrium properties of a classical integrable non-relativistic theory, with a time evolution initially prepared with a finite energy density in the thermodynamic limit. The theory considered here is the Non-Linear Schrodinger equation which describes the dynamics of the one-dimensional interacting Bose gas in the regime of high occupation numbers. The main emphasis is on the determination of the late-time Generalised Gibbs Ensemble (GGE), which can be efficiently semi-numerically computed on arbitrary initial states, completely solving the famous quench problem in the classical regime. We take advantage of known results in the quantum model and the semiclassical limit to achieve new exact results for the momenta of the density operator on arbitrary GGEs, which we successfully compare with ab-initio numerical simulations. Furthermore, we determine the whole probability distribution of the density operator (full counting statistics), whose exact expression is still out of reach in the quantum model.

研究の動機と目的

• 量子クエンチ後の古典的可積分場理論の遅い時間における定常状態を、相互作用するボーズガスの半古典的極限において特徴づけること。
• 量子Lieb-Linigerモデルからの正確な結果を、半古典的極限を介して古典的非線形シュレーディンガー（NLS）方程式へと拡張すること。
• 任意の初期状態に対して、古典的領域における一般化ギブス集合（GGE）を計算する完全で半数値的メソッドを提供すること。
• 密度演算子の全カウント統計（FCS）を導出し、これは完全な量子モデルでは未だ取り扱いが困難な量である。
• 時間発展演算子の第一原理的数値シミュレーションと照合することで、解析的予測の妥当性を確立すること。

提案手法

• 1次元相互作用するボーズガスの量子Lieb-Linigerモデルの半古典的極限を用い、それを古典的非線形シュレーディンガー（NLS）方程式へと写像する。
• 古典的NLS方程式を正確に解くために逆散乱法を適用し、全セットの保存量および関連するGGEの構成を可能にする。
• モノドロミー行列と転送行列形式を用いて、NLS方程式の根密度の正確な解析的表現を、場の配置に基づいて導出する。
• 根密度から一般化ギブス集合（GGE）を構築し、密度演算子の1点関数の正確な計算を可能にする。
• 正確な根密度と関連する生成関数を用いて、密度演算子の全カウント統計（FCS）を導出する。
• 粒子数を正確に保存するハミルトニアン分割スペクトル法を時間発展演算に実装し、解析的予測の高精度な数値的検証を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の初期状態に対しても、クエンチ後の古典的非線形シュレーディンガー方程式の正確な遅い時間における定常状態を導出できるか？
• RQ2 量子Lieb-Linigerモデルの半古典的極限は、根密度およびGGEの観点から、古典的NLS方程式に対して正確な結果をどのように可能にするか？
• RQ3 古典的領域における密度演算子の全カウント統計（FCS）の正確な形は何か？ そして、量子結果と比べてどのように異なるか？
• RQ4 解析的GGE予測による密度演算子のモーメントおよび分布は、時間発展演算の直接的な数値的シミュレーションによってどの程度まで妥当性を確認できるか？
• RQ5 特に自由熱的状態に対して、NLS方程式の根密度は初期場の配置にどのように依存するか？

主な発見

• 一様な初期場配置に対して、根密度が解析的に半円分布 ρ(λ) = 1/(2π)√(4|φ|² − λ²) として導出され、数値シミュレーションと極めて良好に一致する。
• 任意のGGEに対して、古典的NLSモデルにおける密度演算子の全カウント統計（FCS）が閉形式で導出された。これは完全な量子モデルではまだ到達できない結果である。
• GGEから導出された密度演算子の1次および2次モーメントの解析的予測は、時間発展演算の第一原理的数値シミュレーションと定量的に一致した。
• 自由熱的初期状態に対して、大きなラピディティにおける根密度は ρ(λ) ∼ 1/(βλ²) と減少し、期待される古典的挙動および半古典的極限と整合的である。
• ハミルトニアン分割法による時間発展演算の数値実装は、粒子数を正確に保存し、根密度の高精度抽出を可能にした。これにより、解析的結果との信頼性ある比較が可能になった。
• 本手法は、任意の初期条件から出発する遅い時間における定常状態を正確に計算する完全で正確なフレームワークを提供し、NLSモデルにおける古典的クエンチ問題を成功裏に解いた。