[論文レビュー] Higher cup products on hypercubic lattices: application to lattice models of topological phases

Yu-An Chen, Sri Tata|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2021

Theoretical and Computational Physics参考文献 34被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ハイパーキュービックラティス上での高次カップ積の明示的コチェーンレベルの式を導出し、トポロジカルな物質相のハミルトニアンを体系的に構成することを可能にする。また、(3+1)D SPTモデル $ S = \frac{1}{2}\int w_2^2 + w_1^4 $ と3フェルミオンWalker-Wangモデルの双対性を確立し、この形式を用いて任意次元への正確なボソン-フェルミオン双対性およびGu-Wenグラスマニアン積分を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we derive the explicit formula for higher cup products on hypercubic lattices, based on the recently developed geometrical interpretation in the simplicial case. We illustrate how this formalism can elucidate lattice constructions on hypercubic lattices for various models and deriving them from spacetime actions. In particular, we demonstrate explicitly that the (3+1)D SPT $S = \frac{1}{2} \int w_2^2 + w_1^4$ (where $w_1$ and $w_2$ are the first and second Stiefel-Whitney classes) is dual to the 3-fermion Walker-Wang model constructed on the cubic lattice by Burnell-Chen-Fidkowski-Vishwanath. Other examples include the double-semion model, and also the `fermionic' toric code in arbitrary dimensions on hypercubic lattices. In addition, we extend previous constructions of exact boson-fermion dualities and the Gu-Wen Grassmann Integral to arbitrary dimensions. Another result which may be of independent interest is a derivation of a cochain-level action for the generalized double-semion model, reproducing a recently derived action on the cohomology level.

研究の動機と目的

• ハイパーキュービックラティス上での高次カップ積のコチェーンレベルの形式的体系を構築し、トポロジカル作用の明示的計算を可能にする。
• この形式的体系を用いて、3フェルミオンWalker-Wangモデルやフェルミオン的トーリックコードを含む既知のトポロジカル格子モデルのハミルトニアンを導出する。
• ハイパーキュービックラティスの枠組みを用いて、任意次元への正確なボソン-フェルミオン双対性およびGu-Wenグラスマニアン積分を拡張する。
• 一般化されたダブル・セミオンモデルの作用をコチェーンレベルで導出し、既知のコhomologyレベルの結果を再現する。
• カップ積の恒等式を用いて、トポロジカルモデルにおける量子セルオートマトン（QCA）の構築と検証を簡略化する。

提案手法

• 細胞複体記法と双対細胞構造を用いて、$ \mathbb{Z}_2 $ および $ \mathbb{Z} $ 上のハイパーキュービックラティス上での $ \cup_i $ 積の明示的公式を導出する。
• 双対細胞の符号付き交差を幾何学的解釈として用い、$ \mathbb{Z} $-係数演算における符号因子を説明する。
• 形式的体系を時空分割関数に適用し、トポロジカル作用から体積項および境界項のハミルトニアンを導出する。
• 相対コチェーン $ C^*(N, \partial N) $ を表現するための拡張ラティス構成を導入し、境界項の解析を可能にする。
• $ \cup_1 $ 積の恒等式を用いて、QCAハミルトニアンにおける重複項を排除し、項の独立性を保証する。
• 形式的体系を用いて、$ \mathbb{Z}_n $ トーリックコード、ダブル・セミオン、3フェルミオンWalker-Wangモデルなどのモデルを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーキュービックラティス上での高次カップ積を、コチェーンレベルで明示的にどのように定式化できるか？
• RQ2 (3+1)D SPTモデル $ S = \frac{1}{2}\int w_2^2 + w_1^4 $ と3フェルミオンWalker-Wangモデルの双対性が、統一的なコチェーン形式から導けるか？
• RQ3 この枠組みを用いて、正確なボソン-フェルミオン双対性およびGu-Wenグラスマニアン積分を任意次元に一般化できるか？
• RQ4 一般化されたダブル・セミオンモデルの作用をコチェーンレベルで導出し、既知のコhomologyレベルの結果と一致するか？
• RQ5 カップ積の恒等式は、トポロジカルモデルにおける量子セルオートマトンの構築と検証を簡略化できるか？

主な発見

• 本稿は、$ \mathbb{Z}_2 $ および $ \mathbb{Z} $ 上のハイパーキュービックラティス上での $ \cup_i $ 積の明示的コチェーンレベルの公式を導出し、符号因子を双対細胞の符号付き交差として解釈する。
• (3+1)D SPTモデル $ S = \frac{1}{2}\int w_2^2 + w_1^4 $ が、カップ積形式を用いて立方格子上での3フェルミオンWalker-Wangモデルと双対的であることを証明する。
• この形式的体系により、任意次元における $ \mathbb{Z}_n $ トーリックコード、ダブル・セミオンモデル、フェルミオン的トーリックコードのハミルトニアンを体系的に導出可能である。
• 一般化されたダブル・セミオンモデルの作用をコチェーンレベルで導出し、以前に知られていたコhomologyレベルの結果を再現する。
• $ \cup_1 $ 積の恒等式により、3フェルミオンモデルのQCA構築において重複項を排除でき、多項式の検証を代数的恒等式に置き換えることが可能になる。
• 拡張ラティス構成により、相対コチェーンと境界条件を備えた拡張ラティス上のコチェーンの間の一対一対応が得られ、境界項の解析が容易になる。