[論文レビュー] Higher derived brackets

Ezra Getzler|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、ベルヌーイ数を用いて定義される高次導来括弧を用いて、微分付きゲージ代数 $L_{\bullet}$ の正次数部分に $L_{\infty}$-代数構造を体系的に構成する。主な結果は、ポincare多様体の導来括弧構成およびコルタン代数から得られるリー2-代数を一般化し、重層的ヤコビ恒等式とベルヌーイ数の性質を用いた直接的検証により、得られた作用素が $L_{\infty}$-代数の公理を満たすことを示している。

ABSTRACT

We show that there is a sequence of operations on the positively graded part of a differential graded algebra making it into an L-infinity algebra. The formulas for the higher brackets involve Bernoulli numbers. The construction generalizes the derived bracket for Poisson manifolds, and the Lie 2-algebra associated to a Courant algebroid constructed by Roytenberg and Weinstein.

研究の動機と目的

• 微分付きゲージ代数の次数1のものから任意の正次数部分への導来括弧構成の一般化。
• 導来括弧形式から $L_{\infty}$-代数の構成を、高次次数の要素を含む高次括弧へと拡張すること。
• 重層的ヤコビ恒等式とベルヌーイ数を含む組合せ的恒等式を用いて、得られた構造の $L_{\infty}$-代数公理の直接的証明を提供すること。
• ベルヌーイ数が高次括弧の構造にどのように現れるかを明確にすること、すなわち、微分付きゲージ代数の構造からその出現が生じることを示すこと。

提案手法

• 微分付きゲージ代数 $L_{\bullet}$ の正次数部分 $\mathbb{L} = \tau_{>0}L$ に $L_{\infty}$-代数構造を定義する。
• 第 $n$ 高次括弧を $\{a_0,\dots,a_n\} = b_n \sum_{\pi \in S_{n+1}} (-1)^\varepsilon [[\dots[Da_{\pi_0}, a_{\pi_1}], \dots], a_{\pi_n}]$ として構成し、ここで $b_n = \frac{(-1)^n B_n}{n!}$ であり、$B_n$ はベルヌーイ数である。
• 括弧作用素における重層的対称性を扱うために、コシュールの符号規約を用いる。
• 基礎となる微分付きゲージ代数 $L$ における重層的ヤコビ恒等式を適用し、$L_{\infty}$-代数の関係を検証する。
• ヤコビ規則の寄与を分解するための補助的テンソル $\mathbf{Z}_{n,j,k}$ を導入し、それらの対称性および再帰的性質を活用する。
• 生成関数 $f(x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2}$ を用いて、$s,t$ に関する多項式が $s+t-1$ で生成されるイデアルに属することを示すことにより、全ヤコビ規則の消滅を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分付きゲージ代数における次数1の要素を超えたポincare多様体の導来括弧構成をどのように一般化できるか？
• RQ2 ベルヌーイ数は、微分付きゲージ代数から生じる $L_{\infty}$-代数における高次括弧の構造にどのような役割を果たすか？
• RQ3 $L_{\infty}$-代数構造が微分付きゲージ代数の正次数切断に直接構成され、マッピングコーンの構成に依存せずに検証可能か？
• RQ4 高次導来括弧構成がどのような条件下でリー $n$-代数を生成するか？
• RQ5 $\mathbf{Z}_{n,j,k}$ テンソルを含む組合せ的恒等式は、$L_{\infty}$-代数のヤコビ恒等式をどのように保証するか？

主な発見

• 構造 $\mathbb{L} = \tau_{>0}L$ における $L_{\infty}$-代数構造は、公式 $\{a_0,\dots,a_n\} = b_n \sum_{\pi} (-1)^\varepsilon [[\dots[Da_{\pi_0}, a_{\pi_1}], \dots], a_{\pi_n}]$ を用いて明示的に構成され、ここで $b_n = \frac{(-1)^n B_n}{n!}$ である。
• 0次および1次括弧はそれぞれ $\{a\} = \delta a$（$|a| > 1$ のとき）、および $\{a_0,a_1\} = \frac{1}{2} \left( [Da_0,a_1] - (-1)^{|a_0|} [a_0, Da_1] \right)$ として明示的に与えられる。
• 3次括弧は $\{a_0,a_1,a_2\} = \frac{1}{12} \sum_{\pi} (-1)^\varepsilon \left( [[Da_{\pi_0},a_{\pi_1}],a_{\pi_2}] \text{ およびその置換} \right)$ であり、符号はコシュールの規約に従う。
• 第 $n$ 括弧のヤコビ恒等式は、$j,k$ をインデックスとする寄与に分解し、$s,t$ に関する多項式が $s+t-1$ で生成されるイデアルに属することを示すことにより検証された。この際、生成関数 $f(x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2}$ を用いた。
• $L^i = 0$（$i > 2$ のとき）に相当する場合、構成はコルタン代数から得られるリー2-代数構造を回復し、ロイテンベルクとワインシュタインの先行結果と整合性を確認する。
• 本手法は、フィオレンツァとマネッティの研究で用いられたマッピングコーン構成に依存しない $L_{\infty}$-代数公理の直接的証明を提供し、その構造が彼らの構成と次数シフトを除いて一致することを示している。