[論文レビュー] Higher-Dimensional Algebra II: 2-Hilbert Spaces

John C. Baez|ArXiv.org|Sep 17, 1996

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト空間と類似した構造を備えた2-ヒルベルト空間——ヒルベルト空間の上に豊かにされたカテゴリで、双対性条件を満たす*-構造を備える——を導入する。一般化されたドプリューラー＝ロバーツの定理を確立し、任意の対称的2-H*-代数がコンパクトなスーパーグループイドGの表現カテゴリと同値であることを証明する。また、コンパクトな古典的群のRep(G)の普遍的特徴づけを伴う、ゲルファンド変換およびフーリエ変換のカテゴリ化版を構成する。

ABSTRACT

A 2-Hilbert space is a category with structures and properties analogous to those of a Hilbert space. More precisely, we define a 2-Hilbert space to be an abelian category enriched over Hilb with a *-structure, conjugate-linear on the hom-sets, satisfying = = . We also define monoidal, braided monoidal, and symmetric monoidal versions of 2-Hilbert spaces, which we call 2-H*-algebras, braided 2-H*-algebras, and symmetric 2-H*-algebras, and we describe the relation between these and tangles in 2, 3, and 4 dimensions, respectively. We prove a generalized Doplicher-Roberts theorem stating that every symmetric 2-H*-algebra is equivalent to the category Rep(G) of continuous unitary finite-dimensional representations of some compact supergroupoid G. The equivalence is given by a categorified version of the Gelfand transform; we also construct a categorified version of the Fourier transform when G is a compact abelian group. Finally, we characterize Rep(G) by its universal properties when G is a compact classical group. For example, Rep(U(n)) is the free connected symmetric 2-H*-algebra on one even object of dimension n.

研究の動機と目的

• 2-ヒルベルト空間を、Hilbの上に豊かにされたアーベル圏として定義し、<fg,h> = <g,f*h> = <f,hg*> を満たす共役線形*-構造をhom-集合に備えること。
• モノイダル、ブレッドモノイダル、対称モノイダル2-ヒルベルト空間に一般化し、2-H*-代数およびその変種を定義すること。
• 対称的2-H*-代数とコンパクトなスーパーグループイドGの表現カテゴリRep(G)との間の対応関係を確立すること。
• コンパクトなアーベル群に対して、ゲルファンド変換のカテゴリ化版を提供し、フーリエ変換のカテゴリ化版を構成すること。
• Gがコンパクトな古典的群（例：U(n)）である場合、Rep(G)を普遍的性質によって特徴づけること。

提案手法

• 2-ヒルベルト空間を、Hilbの上に豊かにされたアーベル圏として定義し、<fg,h> = <g,f*h> = <f,hg*> を満たす共役線形*-構造をhom-集合に備えること。
• モノイダル、ブレッドモノイダル、対称モノイダル構造を2-ヒルベルト空間に導入し、2-H*-代数およびそのブレッド/対称バージョンを定義すること。
• カテゴリ化されたゲルファンド変換を通じて、対称的2-H*-代数とRep(G)との間の対応関係を確立し、古典的ドプリューラー＝ロバーツ双対性を一般化すること。
• 古典的フーリエ変換を2カテゴリカルレベルに持ち上げることで、コンパクトなアーベル群に対してカテゴリ化されたフーリエ変換を構成すること。
• G = U(n) のとき、Rep(G)を、次元nの偶性を持つ1つの生成元からなる自由な連結対称2-H*-代数として普遍的性質によって特徴づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元代数の文脈において、ヒルベルト空間の正しいカテゴリ化とは何か？
• RQ2 モノイダルおよび対称モノイダル構造を2-ヒルベルト空間に組み込む方法は何か？ これは2次元、3次元、4次元のタングルをモデル化するのに役立つ。
• RQ3 対称的2-H*-代数をコンパクトなスーパーグループイドの表現カテゴリによって分類する、カテゴリ化されたドプリューラー＝ロバーツの定理は存在するか？
• RQ4 コンパクトなアーベル群に対して、ゲルファンド変換およびフーリエ変換を2カテゴリカルな文脈に一般化できるか？
• RQ5 コンパクトな古典的群（例：U(n)）に対して、表現カテゴリRep(G)をどのような普遍的性質が特徴づけるか？

主な発見

• 任意の対称的2-H*-代数は、あるコンパクトなスーパーグループイドGの表現カテゴリRep(G)と同値であり、カテゴリ化された双対性が確立される。
• 対称的2-H*-代数とRep(G)との同値性は、ゲルファンド変換のカテゴリ化版によって与えられる。
• コンパクトなアーベル群に対して、古典的フーリエ変換が2カテゴリカルレベルに持ち上げられたカテゴリ化されたフーリエ変換が構成される。
• Rep(U(n))は、次元nの偶性を持つ1つの生成元からなる自由な連結対称2-H*-代数として特徴づけられ、普遍的性質が示される。
• 本論文は、普遍的構成を用いて、コンパクトな古典的群の表現カテゴリを理解するための包括的なカテゴリカルな枠組みを提供する。