[論文レビュー] Higher-Dimensional Algebra VI: Lie 2-Algebras

John C. Baez, Alissa S. Crans|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ベクトル空間の圏（Vect）における内部圏としての2ベクトル空間を用いた、カテゴライズ化されたリー代数としての半厳密リー2代数を導入する。これは、スケュー対称な双線形括弧を備え、ジャコビ恒等式が完全に反対称な3重線形自然同型（ジャコビェーター）を介して、上に満たされる。主な結果は、任意の半厳密リー2代数がザモロドチコフの四面体方程式の解を与えること、およびこのようなリー2代数の2カテゴリが2項L∞-代数の2カテゴリと2同値であるということである。

ABSTRACT

The theory of Lie algebras can be categorified starting from a new notion of "2-vector space", which we define as an internal category in Vect. There is a 2-category 2Vect having these 2-vector spaces as objects, "linear functors" as morphisms and "linear natural transformations" as 2-morphisms. We define a "semistrict Lie 2-algebra" to be a 2-vector space L equipped with a skew-symmetric bilinear functor satisfying the Jacobi identity up to a completely antisymmetric trilinear natural transformation called the "Jacobiator", which in turn must satisfy a certain law of its own. This law is closely related to the Zamolodchikov tetrahedron equation, and indeed we prove that any semistrict Lie 2-algebra gives a solution of this equation, just as any Lie algebra gives a solution of the Yang-Baxter equation. We construct a 2-category of semistrict Lie 2-algebras and prove that it is 2-equivalent to the 2-category of 2-term L-infinity algebras in the sense of Stasheff. We also study strict and skeletal Lie 2-algebras, obtaining the former from strict Lie 2-groups and using the latter to classify Lie 2-algebras in terms of 3rd cohomology classes in Lie algebra cohomology. This classification allows us to construct for any finite-dimensional Lie algebra g a canonical 1-parameter family of Lie 2-algebras g_hbar which reduces to g at hbar = 0. These are closely related to the 2-groups G_hbar constructed in a companion paper.

研究の動機と目的

• 2ベクトル空間を基盤とする半厳密リー2代数を定義することで、リー代数のカテゴライズ化された版を構築すること。
• リー代数におけるジャコビ恒等式の代わりに、自然同型としてのジャコビェーターを導入し、その整合性を保証する整合性法則を課すこと。
• 半厳密リー2代数の2カテゴリと2項L∞-代数の2カテゴリとの間の2同値性を確立すること。
• リー2代数を3次リー代数コホモロジー類によって分類し、任意の有限次元リー代数から1パラメータ族のリー2代数を構成可能にする。
• 任意の半厳密リー2代数が、リー代数がヤン・バクスター方程式を解くのと同様に、ザモロドチコフの四面体方程式の解を与えることの証明。

提案手法

• 2ベクトル空間をベクトル空間の圏（Vect）における内部圏として定義し、これは2項複体と同値であることを示す。
• スケュー対称な双線形ファンクター [⋅,⋅]: L×L→L と、三重線形自然同型（ジャコビェーター）を備えた2ベクトル空間として、半厳密リー2代数を定義する。
• ジャコビェーター恒等式を、括弧の再配置における一貫性を保証する整合性法則として定式化し、結合則の五角形方程式に類似した構造を備える。
• 任意の半厳密リー2代数から解を構成することで、ジャコビェーター恒等式がザモロドチコフの四面体方程式と同値であることを証明する。
• 明示的なファンクターと自然同型を用いて、半厳密リー2代数の2カテゴリと2項L∞-代数の2カテゴリとの間の2同値性を確立する。
• スケルタルなリー2代数とリー代数コホモロジーを用いて、すべてのリー2代数を同値類の観点から分類し、同型類がリー代数 𝔤 に対して H³(𝔤, 𝔤) の類と一対一対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数の概念をどのようにカテゴライズ化し、リー2代数の整合的な定義を可能にするか？
• RQ2 ジャコビェーターが満たすべき整合性法則は何か？そして、ザモロドチコフの四面体方程式のような高次代数的構造とどのように関係するか？
• RQ3 半厳密リー2代数と2項L∞-代数の間の関係は何か？そして、それらがカテゴリ的に同値であることを示せるか？
• RQ4 リー代数コホモロジーを用いてリー2代数を分類可能か？この分類は、新しい例の構成にどのような意味を持つのか？
• RQ5 与えられたリー代数 𝔤 から1パラメータ族のリー2代数 𝔤ℏ を構成する方法は、リー2群およびその無限小版である理論とどのように関係するか？

主な発見

• 半厳密リー2代数は、スケュー対称な双線形括弧と、整合性法則を満たす3重線形ジャコビェーター自然同型を備えた2ベクトル空間として定義される。
• ジャコビェーター恒等式がザモロドチコフの四面体方程式と同値であることが示され、高次リー理論とトポロジカル量子場理論との深い関係が確立される。
• 任意の半厳密リー2代数は、リー代数がヤン・バクスター方程式を解くのと同様に、ザモロドチコフの四面体方程式の解を与える。
• 半厳密リー2代数の2カテゴリは、2項L∞-代数の2カテゴリと2同値である。これは、カテゴライズ化されたリー理論とホモトピー論の橋渡しを提供する。
• スケルタルなリー2代数は、3次リー代数コホモロジー類 H³(𝔤, 𝔤) によって分類され、任意の有限次元リー代数 𝔤 から1パラメータ族のリー2代数 𝔤ℏ を構成可能である。
• 族 𝔤ℏ は ℏ=0 で 𝔤 に還元され、この構成はホモトピー論におけるポストニコフ塔構成の無限小版であり、リー代数コホモロジーがリーn代数の分類にどのように関与するかを示している。