[論文レビュー] Higher-dimensional generalizations of the Thouless charge pump

Anton Kapustin, Lev Spodyneiko|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、D次元の閉じた多様体でパラメータ化された、ギャップを持つU(1)対称性を持つ系の族に対して、トポロジカル不変量を定義することにより、トゥースルズの電荷ポンプを高次元系へ一般化する。有限サイズ系における断熱的変化と電荷輸送に基づく帰納的議論を用いて、短距離もつれ状態の相において、この不変量が整数であることを証明する。これは、1次元のトゥースルズポンプを高次元に拡張し、トポロジカルに頑健な性質を有する。

ABSTRACT

We define and study analogs of the Thouless charge pump for many-body gapped systems in dimension $D$. We show how to attach a topological invariant to a $D$-dimensional family of such systems, provided all of them have an on-site $U(1)$ symmetry. For a large class of families we argue that this topological invariant is an integer. In the case of gapped systems of free fermions in two dimensions, the invariant can be expressed in terms of the curvature of the Bloch-Berry connection. We also obtain a new formula for the Thouless charge pump in 1d which involves only static linear response and is analogous to the Streda formula for Hall conductivity.

研究の動機と目的

• 1次元系に限らない、U(1)対称性を持つギャップのある高次元系へのトゥースルズ電荷ポンプ機構の拡張。
• トーラスに限らない、D次元の閉じた多様体でパラメータ化されたギャップのある系の族に対して、トポロジカル不変量を定義すること。
• 短距離もつれ状態と非 degenerate 基底状態の仮定の下で、この不変量が整数であることを確立すること。
• 1次元の場合と同様に、高次元における量子化された電荷輸送を数学的に厳密に扱うフレームワークを構築すること。
• 1次元のトゥースルズ公式を、ホール効果のストレーダ公式に類似した静的線形応答を用いて再定式化すること。

提案手法

• D次元の多様体上で定義された、Dパラメータのギャップを持つU(1)対称性を持つハミルトニアン族を定義し、周期性の仮定を避けた。
• パラメータ空間を2つの可縮なチャートで被覆し、それらの重なり領域で補間する3番目の族を導入することで、不変量の局所化を実現した。
• 最終次元に長さ4Lの有限サイズ系を構築し、端効果からのトポロジカル寄与を分離した。
• パラメータ空間内のループに沿ってパラメータが変化する断熱的変化プロトコルを適用し、単位セルあたりのネット電荷輸送を測定した。
• 勾配展開と compact な台を持つ関数を用いて、下位項 q′−q を分離し、これが整数の不変量であることを示した。
• 次元Dについての帰納法を用い、D次元の不変量を有限サイズの部分系上で定義された(D−1)次元の不変量に還元した。誤差項はL−∞に比例して抑制された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギャップを持つ系に対して、周期性を仮定しない高次元のトゥースルズ電荷ポンプの一般化は定義可能か？
• RQ2 短距離もつれ状態の系において、高次元での断熱的サイクルにおける電荷輸送不変量は整数として量子化されるか？
• RQ3 一般のD次元の閉じた多様体でパラメータ化されたギャップのある系の族に対して、どのようにトポロジカル不変量を割り当てられるか？
• RQ4 U(1)対称性と短距離もつれ状態が、不変量の整数性を保証する役割を果たすのはどのような仕組みか？
• RQ5 1次元のトゥースルズ公式は、ストレーダ公式に類似した静的線形応答のみを用いて再定式化可能か？

主な発見

• 本稿では、U(1)対称性を持つD次元ギャップのある系の族に対して、D次元の閉じた多様体でパラメータ化されたトポロジカル不変量を定義した。
• 短距離もつれ状態の系では、この不変量が整数であることが示され、1次元のトゥースルズポンプにおける電荷輸送の量子化を高次元に拡張した。
• エネルギーギャップとU(1)対称性を保つ連続変形に対して、この不変量は不変である。
• 1次元のトゥースルズ電荷ポンプは、静的線形応答のみを用いて再導出され、ホール効果のストレーダ公式に類似した式が得られた。
• D次元における不変量は、指数的に小さい補正を除いて、有限サイズの部分系上での低次元不変量と等しいことが示され、帰納的証明が可能になった。
• 端効果の差 q′−q は、時間反転系と重ね合わせることで、L→∞ の極限において整数のトポロジカル不変量であることが証明された。