[論文レビュー] Higher genus curves on toric varieties

Mihai Halic|ArXiv.org|Jan 11, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、固定された genus-g 曲線から滑らかでコンpactなトーリック多様体への写像の空間の滑らかなコンパクト化上で、写像次数が十分に大きい条件下で、交線数を組合せ論的手段で計算する方法を開発する。等長コホモロジーと曲線のピカールトーラス上の局在化を用いて、特定の交線積の明示的公式を導出し、トーリック多様体のファング定義の原始的集合に基づく消滅結果を確立する。

ABSTRACT

Given a smooth and projective curve C and a smooth and projective toric variety X, we first describe a compactification of the space of morphisms from C to X representing a fixed homology class, and after we study the intersection theory on this variety.

研究の動機と目的

• 固定された滑らかで射影的な genus-g 曲線から滑らかで射影的なトーリック多様体への写像の空間を、写像次数が十分に大きい場合に記述すること。
• Kontsevich-Manin の安定写像空間の既約成分と双有理的な滑らかで射影的なコンパクト化を、この写像空間に構成すること。
• 等長コホモロジーと局在化技術を用いて、このコンパクト化空間上の交線数を計算すること。
• 特定の交線積の明示的公式を導出し、トーリック多様体のファングの組合せ論に基づく消滅条件を確立すること。

提案手法

• トーリック多様体のファング構造を用いて、C^r 上に T-作用を定義し、X を Ω/T として実現する。ここで Z_X = C^r / Ω は codimension ≥2 を満たす。
• 写像の多様度 d の空間 Mor_d(C,X) のコンパクト化 V を構成する。d が十分に大きいとき、V は滑らかで期待される次元を持つ。
• 曲線 C のピカールトーラス上で等長局在化を適用し、V 上の積分をピカール多様体の積における固定点上の積分に還元する。
• ファングの構造を用いて θ-類とラインバンドル Λ_ρ をコンパクト化上に定義し、既知の射影バンドルに関する結果を用いて (q_x)_*(∏Λ_ρ^{k_ρ}) の押し出しを計算する。
• 定理 4.5 の局在化公式を適用し、V 上の積分を固定点 x ∈ X^S 上の和に表現する。各 x への寄与は、ρ が σ_n(x) に属するかどうかに依存する。
• 指数 m_ρ に条件を課して、r ∈ σ_n(x) となる項が消えるようにし、変数を 0 に設定することで簡略化を図り、命題 4.7 で明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像次数が十分に大きく、写像空間が滑らかで期待される次元を持つ場合、genus-g 曲線からトーリック多様体への写像空間上の交線数はどのように計算できるか？
• RQ2 このような写像空間のコンパクト化の構造は何か？ また、Kontsevich-Manin の安定写像コンパクト化とはどのように関係しているか？
• RQ3 等長局在化を用いて、このコンパクト化空間上の特定の交線積の明示的公式を導出できるか？
• RQ4 ファングの組合せ論的条件下で、Λ_ρ 類の単項式の積分が消えるのはどのような場合か？
• RQ5 ピカール多様体の θ-類とファングの組合せ論が、交線数をどのように共同で決定するか？

主な発見

• 十分に大きな次数に対して、写像空間 Mor_d(C,X) は滑らかで期待される次元を持ち、良好に振る舞うコンパクト化 V を許容する。
• ∫_V Λ_1^{m_1}⋯Λ_r^{m_r} は、{ρ} で m_ρ ≥ N_ρ + g を満たすものがファングの原始的集合である場合に消える。
• m_ρ = d_ρ + 1 + a_ρ (ρ=1,…,r−1) および m_r = d_r − ng − (l + a_r − 1) で d_r が十分に大きいとき、積分は r ∉ σ_n(x) を満たす固定点 x ∈ X^S 上の和に簡略化され、寄与は Λ_ρ^{m_ρ} と θ_ρ^b / b! を含む補正項の積の (q_x)_* で与えられる。
• 命題 4.7 の公式は、r ∉ σ_n(x) を満たす固定点 x 上の和として、q_*Λ^{m_ρ} の押し出しを表しており、既知の次数公式を持つ射影バンドル上の押し出しを含む。
• 命題 4.8 の消滅結果は、集合 J ⊂ Σ(1) が原始的集合であり、すべての ρ ∈ J に対して m_ρ ≥ N_ρ + g ならば、積分が消えることを示しており、これは J ⊂ σ_n(x) を満たすような x が存在しないことによる。
• V 上の全積分問題は、ファングの組合せ論的データとピカール多様体の θ-類に還元され、交線数がトーリック多様体の組合せ論と曲線のモジュライにのみ依存することを示している。