[論文レビュー] Quantum Cohomology Rings of Toric Manifolds

Victor V. Batyrev|ArXiv.org|Oct 5, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 149

ひとこと要約

本稿では、ケーラー類 φ に依存するパrameter化された乗法的構造を用いて、任意の滑らかで射影的なトーリック多様体の量子コホモロジー環を計算する。量子コホモロジー環が、次数積分の指数関数を含む二項関係による多項式環の商として同型であることを確立し、φ を無限大にスケーリングする極限で古典的コホモロジー環に変形され、また、コ dimension 1 で同型である場合のフロップ型の双有理変換に対して不変であることを証明する。

ABSTRACT

We compute the quantum cohomology ring $H^*_φ({\bf P}, {\bf C})$ of an arbitrary $d$-dimensional smooth projective toric manifold ${\bf P}_Σ$ associated with a fan $Σ$. The multiplicative structure of $H^*_φ({\bf P}_Σ, {\bf C})$ depends on the choice of an element $avarphi$ in the ordinary cohomology group $H^2({\bf P}_Σ, {\bf C})$. There are many properties of the quantum cohomology rings $H^*_φ({\bf P}_Σ, {\bf C})$ which are supposed to be valid for quantum cohomology rings of Kähler manifolds

研究の動機と目的

• 任意の滑らかで射影的なトーリック多様体 $ {f P}_{\rho} $ の量子コホモロジー環 $ H^{*}_{\rho}({\bf P}_{\rho},{f C}) $ を、$ \varphi \in H^{2}({\bf P}_{\rho},{\bf C}) $ に依存するパrameterで計算すること。
• ケーラー類 $ \varphi $ を無限大にスケーリングする極限で、量子コホモロジー環が古典的コホモロジー環に収束することを確立すること。
• 多様体が codimension 1 で同型である場合のフロップ型双有理変換に対して、量子コホモロジー環が不変であることを証明すること。
• 第一チャーン類が閉じたケーラー錐に属するとき、量子コホモロジー環が鏡対称 Calabi-Yau 超曲面を定義するローラン多項式のジャコビアン環に同型であることを示すこと。

提案手法

• 量子交差数を定義するために、ホロモーフィック写像 $ f: \mathbb{C}P^1 \to {\bf P}_{\Sigma} $ のモジュライ空間 $ \mathcal{I}_{\lambda} $ を用いる。
• $ t \to \infty $ の極限において、構造定数が $ t\varphi $ でスケーリングされる量子コホモロジー代数の極限過程を導入し、これにより古典的コホモロジー環が得られることを示す。
• 量子コホモロジー環を、$ B_{\varphi}(\Sigma) $ が $ \lambda \in R(\Sigma)_{\geq 0} $ に対して二項式 $ z^{\lambda} - \exp(-{\rm deg}_{\varphi}\lambda) $ で生成されるイデアルである、商 $ \mathbb{C}[z]/(P(\Sigma) + B_{\varphi}(\Sigma)) $ として定義する。
• 交差積に非ゼロの寄与が生じるのは、仮想次元と挿入物の総次数が一致する場合に限ることを応用する。
• 有理曲線がクラス $ \lambda $ で寄与するのは $ \lambda = \lambda^0 $ のときのみであり、その重みは $ \exp(-{\rm deg}_{\varphi}\lambda) $ である。
• 量子環のすべての関係がこれらの二項関係によって生成されることを示し、量子コホモロジー環と商環との同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック多様体の量子コホモロジー環は、$ \varphi \in H^2({\bf P}_{\Sigma},{\bf C}) $ の選択にどのように依存するか？
• RQ2 $ \varphi $ を $ t $ 倍して $ t \to \infty $ にしたとき、量子コホモロジー環はどのように変化し、古典的コホモロジー環に回復するか？
• RQ3 codimension 1 で同型であるトーリック多様体間のフロップ型双有理変換に対して、量子コホモロジー環は不変か？
• RQ4 量子コホモロジー環は代数的に多項式関係によって記述可能か？ また、$ c_1({\bf P}_{\Sigma}) \in \overline{K}({\bf P}_{\Sigma}) $ のとき、鏡対称 Calabi-Yau 超曲面を定義するローラン多項式のジャコビアン環に同型か？

主な発見

• 量子コホモロジー環 $ QH^{*}_{\varphi}({\bf P}_{\Sigma},{\bf C}) $ は、$ B_{\varphi}(\Sigma) $ が $ \lambda \in R(\Sigma)_{\geq 0} $ 全体に対して二項式 $ z_1^{\lambda_1} \cdots z_n^{\lambda_n} - \exp(-{\rm deg}_{\varphi}\lambda) $ で生成されるイデアルである、商環 $ \mathbb{C}[z]/(P(\Sigma) + B_{\varphi}(\Sigma)) $ に同型である。
• $ t \to \infty $ のとき、量子コホモロジー環 $ QH^{*}_{t\varphi}({\bf P}_{\Sigma},{\bf C}) $ は、$ \varphi $ がケーラー錐の内部にある限り、古典的コホモロジー環 $ H^{*}({\bf P}_{\Sigma},{\bf C}) $ に収束する。
• 2つの滑らかで射影的なトーリック多様体 $ {\bf P}_{\Sigma_1} $ と $ {\bf P}_{\Sigma_2} $ が codimension 1 で同型であるとき、$ QH^{*}_{\varphi}({\bf P}_{\Sigma_1},{\bf C}) \cong QH^{*}_{\varphi}({\bf P}_{\Sigma_2},{\bf C}) $ が成り立つ。これは、通常のコホモロジー環が同型でない場合でも成り立つ。
• $ c_1({\bf P}_{\Sigma}) $ が閉じたケーラー錐に属するとき、量子コホモロジー環はローラン多項式 $ f_{\varphi}(X) $ のジャコビアン環に同型であり、その零点集合は $ (\mathbb{C}^*)^d $ 内の鏡対称 Calabi-Yau 超曲面を定義する。
• 交差数 $ (W_{\Omega} \cdot W_{z_1}^{\lambda_1^0} \cdots W_{z_n}^{\lambda_n^0})_{\mathcal{I}} $ は $ \lambda = \lambda^0 $ のときのみ非ゼロであり、その値は $ \exp(-{\rm deg}_{\varphi}\lambda^0) $ に等しい。
• 量子演算子積は $ \mathcal{Z}_1^{\lambda_1} \circ \cdots \circ \mathcal{Z}_n^{\lambda_n} = \exp(-{\rm deg}_{\varphi}\lambda) \cdot \text{id} $ を満たし、二項関係が環を定義するために十分であることが確認される。