[論文レビュー] Higher Newton polygons in the computation of discriminants and prime ideal decomposition in number fields

Jordi Guàrdia, Jesús Sanz Montes+1 more|ArXiv.org|Jul 25, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、高次ノイズマン多角形を用いて、数体における判別式および素イデアル分解を計算する極めて効率的なアルゴリズムを提示する。p進数的手法を活用し、計算順序を最適化することで、次数が1000に達する数体ですら、判別式のp進付値およびpの分解型を数秒で計算可能であり、特にインデックスが大きい多項式に対しても、古典的な整基底法に比べて優れた性能を示す。

ABSTRACT

We present an algorithm for computing discriminants and prime ideal decomposition in number fields. The algorithm is a refinement of a p-adic factorization method based on Newton polygons of higher order. The running-time and memory requirements of the algorithm appear to be very good: for a given prime number p, it computes the p-valuation of the discriminant and the factorization of p in a number field of degree 1000 in a few seconds, in a personal computer.

研究の動機と目的

• グローバル整基底を計算せずに、数体における判別式および素イデアル分解を高速かつ直接的に計算するアルゴリズムの開発。
• 代数的数論における計算ボトルネック、特に整基底計算の次数増大に伴うスケーリング劣化を解消すること。
• 体拡大を避ける高次ノイズマン多角形を用いて、p進因数分解の効率を向上させること。
• 本アルゴリズムが非常に高い次数（例：次数6912）および大きなインデックス（例：7700万）の数体に対しても適用可能であり、既存手法を上回ることを示すこと。

提案手法

• 数体 K=Q(θ) の定義多項式 f(x) の p進因数分解を分析するために、高次ノイズマン多角形を用いる。
• ノイズマン多角形の順序を段階的に分析することで、判別式のp進付値および OK における p の分解型を計算する。
• 計算の順序を低く抑えるための精錬プロセスを導入し、複雑性を顕著に低減し、性能を向上させる（定理3.1）。
• 判別式を計算する際に不可欠な、多項式 f(x) の p-index を計算する。
• 拡張GCD計算を用いて、p 以上の素イデアルの生成元を計算する。
• アルゴリズムは並列処理に強く適合しており、極めて高い次数の数体に対しても効率的にスケーリング可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次ノイズマン多角形を用いることで、古典的な整基底法に比べ、数体における判別式および素イデアル分解をより効率的に計算できるか？
• RQ2 ノイズマン多角形の計算順序の精錬が、アルゴリズムの複雑性および実行時間に与える影響は何か？
• RQ3 標準的なハードウェア上での実用的計算において、アルゴリズムの性能限界は、数体の次数およびp-indexのどの程度にあるか？
• RQ4 単純な因数分解法では見えない「隠れた」非常に大きなインデックスを持つ多項式を、本アルゴリズムは処理できるか？
• RQ5 アルゴリズムの効率は、数体の次数および素イデアル因子の数に伴い、どの程度スケーリングするか？

主な発見

• 次数1000の数体において、p-indexが200,000に達しても、判別式のp進付値およびpの分解型は1秒未塔で計算可能である。
• 次数6912の多項式で2-indexが77,673,504のケースでは、個人用PCで2の因数分解を787秒で計算可能である。
• [FPR02]の32個のテスト多項式に対しても、高次 p^1000 項による摂動を加えた後でも、0.2秒未塔で実行可能である。
• 素イデアルの生成元を計算する時間は、拡張GCD計算による係数の爆発により顕著に増加し、1例ではMagmaの仮想メモリが枯渇した。
• アルゴリズムは並列処理に強く適合しており、極めて高い次数の数体に対してもスケーリング可能である。
• 特に判別式や因数分解のみが必要な場合に、古典的な整基底計算に比べて顕著な改善を示す。