[論文レビュー] Higher order almost automorphy, recurrence sets and the regionally proximal relation

Wen Huang, Song Shao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、位相的力学系における$d$-段階準自己同型系を導入し、特徴づける。これは、高次元再帰集合とニル系を用いて、古典的準自己同型性を一般化したものである。$d$-段階準自己同型性と$d$-次元の局所的近接関係は、$\mathbb{Z}$ の組合せ的部分集合、特に$d$-段階ポincare再帰集合とバーキホフ再帰集合、$SG_d$集合、およびNil$^d$ボール0集合の双対集合を用いて完全に特徴づけられる。帰還時刻集合$N(x,V) = \{n \in \mathbb{Z} : T^n x \in V\}$を用いて実現される。

ABSTRACT

In this paper, $d$-step almost automorphic systems are studied for $d\in\N$, which are the generalization of the classical almost automorphic ones. For a minimal topological dynamical system $(X,T)$ it is shown that the condition $x\in X$ is $d$-step almost automorphic can be characterized via various subsets of $\Z$ including the dual sets of $d$-step Poincaré and Birkhoff recurrence sets, and Nil$_d$ Bohr$_0$-sets by considering $N(x,V)=\{n\in\Z: T^nx\in V\}$, where $V$ is an arbitrary neighborhood of $x$. Moreover, it turns out that the condition $(x,y)\in X imes X$ is regionally proximal of order $d$ can also be characterized via various subsets of $\Z$ including $d$-step Poincaré and Birkhoff recurrence sets, $SG_d$ sets, the dual sets of Nil$_d$ Bohr$_0$-sets, and others by considering $N(x,U)=\{n\in\Z: T^nx\in U\}$, where $U$ is an arbitrary neighborhood of $y$.

研究の動機と目的

• 自然数$d \in \mathbb{N}$に対して、古典的準自己同型性を$d$-段階準自己同型系へ一般化し、高次元力学系へ理論を拡張すること。
• 組合せ的部分集合、例えば$d$-段階ポincare再帰集合とバーキホフ再帰集合を用いて、$d$-段階準自己同型性を特徴づけること。
• 同様の組合せ的集合、$SG_d$集合およびNil$^d$ボール0集合の双対集合を用いて、$d$-次元の局所的近接関係を完全に特徴づけること。
• 最小系における最大の$d$-段階ニル因子が、$d$-次元の局所的近接関係によって誘導されることを確立し、構造理論と再帰性を結びつけること。

提案手法

• 著者たちは、$d$-段階ニル系の逆極限を用いて、$d$-段階準自己同型系の構造を分析する。
• 任意の$x$の近傍$V$に対して、帰還時刻集合$N(x,V) = \{n \in \mathbb{Z} : T^n x \in V\}$を定義し、$d$-段階準自己同型性を特徴づける。
• フールステンベルク対応原理を用いて、測度論的再帰性と組合せ的再帰集合を関連付ける。
• $d$-段階ポincare再帰集合とバーキホフ再帰集合、$SG_d$集合、およびNil$^d$ボール0集合の双対集合を、主な道具として導入し、分析する。
• 積系における帰還時刻のシンデティック集合の存在を用いて、$d$-次元の局所的近接関係を特徴づける。
• 著者たちは、$\mathbf{RP}^{[d]}(X)$が同値関係であり、$X/\mathbf{RP}^{[d]}$が最大の$d$-段階ニル因子であることを証明する。逆極限の性質を用いて実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$\mathbb{Z}$ の部分集合、例えば$d$-段階再帰集合や$SG_d$集合を用いて、$d$-段階準自己同型性を特徴づけられるか？
• RQ2 $d$-次元の局所的近接関係と、$d$-段階ポincare再帰集合やバーキホフ再帰集合などの組合せ的集合との間の正確な関係は何か？
• RQ3 最小系の最大の$d$-段階ニル因子を、$d$-次元の局所的近接関係によって完全に記述できるか？
• RQ4 Nil$^d$ボール0集合の双対集合と$SG_d$集合は、高次元力学系における再帰性と準自己同型性とどのように関係するか？
• RQ5 高次元再帰集合（立方体的および通常のバージョン）は、$d$-段階準自己同型点をどの程度まで特徴づけられるか？

主な発見

• 任意の$x \in X$が$d$-段階準自己同型であるための必要十分条件は、$x$の任意の近傍$V$に対して、帰還時刻集合$N(x,V)$がすべての$d$-段階ポincare再帰集合とバーキホフ再帰集合と交わることである。
• $d$-次元の局所的近接関係は、帰還時刻集合$N(x,U)$が$d$-段階ポincare再帰集合とバーキホフ再帰集合、$SG_d$集合、およびNil$^d$ボール0集合の双対集合と交わることによって特徴づけられる。
• 最小系における最大の$d$-段階ニル因子は、ちょうど商空間$X/\mathbf{RP}^{[d]}$として与えられ、$\mathbf{RP}^{[d]}$が最大のニル因子を誘導することを確認する。
• $d$-次元の局所的近接関係は因子写像の下で保存される。すなわち、任意の因子写像$\pi: X \to Y$に対して$\pi(\mathbf{RP}^{[d]}(X)) = \mathbf{RP}^{[d]}(Y)$が成り立つ。
• $d$-段階ニル系の逆極限構造により、$\mathbf{RP}^{[d]}(X)$は$\mathbf{RP}^{[d]}(X_\lambda)$の逆極限として得られ、逆系全体にわたって局所的近接構造が保存される。
• $\mathbb{Z}$ の部分集合についての$d$-次元の交差性は、$d$-次元バーキホフ再帰集合であることと同値であり、同様にポincare列に対しても同値である。これにより、組合せ的・エルゴード的双対性が確立される。