[論文レビュー] Nil Bohr-sets and almost automorphy of higher order

Wen Huang, Song Shao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、nilsystemと一般化多項式を用いて、位相的力学系における高次Bohr集合と高次ほぼ自己同型系の間に深い接続を確立する。Nil d Bohr⁰-集合は一般化多項式によって特徴付けられることを示し、d段階のほぼ自己同型点は再帰集合とNil d Bohr⁰-集合によって特徴付けられることを示し、nil因子理論を通じて高次再帰と構造を統一する。

ABSTRACT

Two closely related topics: higher order Bohr sets and higher order almost automorphy are investigated in this paper. Both of them are related to nilsystems. In the first part, the problem which can be viewed as the higher order version of an old question concerning Bohr sets is studied: for any $d\in {\mathbb N}$ does the collection of $\{n\in {\mathbb Z}: S\cap (S-n)\cap\ldots\cap (S-dn) eq \emptyset\}$ with $S$ syndetic coincide with that of Nil$_d$ Bohr$_0$-sets? It is proved that Nil$_d$ Bohr$_0$-sets could be characterized via generalized polynomials, and applying this result one side of the problem is answered affirmatively: for any Nil$_d$ Bohr$_0$-set $A$, there exists a syndetic set $S$ such that $A\supset \{n\in {\mathbb Z}: S\cap (S-n)\cap\ldots\cap (S-dn) eq \emptyset\}.$ Moreover, it is shown that the answer of the other side of the problem can be deduced from some result by Bergelson-Host-Kra if modulo a set with zero density. In the second part, the notion of $d$-step almost automorphic systems with $d\in{\mathbb N}\cup\{\infty\}$ is introduced and investigated, which is the generalization of the classical almost automorphic ones. It is worth to mention that some results concerning higher order Bohr sets will be applied to the investigation. For a minimal topological dynamical system $(X,T)$ it is shown that the condition $x\in X$ is $d$-step almost automorphic can be characterized via various subsets of ${\mathbb Z}$ including the dual sets of $d$-step Poincaré and Birkhoff recurrence sets, and Nil$_d$ Bohr$_0$-sets. Moreover, it turns out that the condition $(x,y)\in X imes X$ is regionally proximal of order $d$ can also be characterized via various subsets of ${\mathbb Z}$.

研究の動機と目的

• シンデティック集合が交差条件を用いてNil d Bohr⁰-集合を生成するかどうかという、古くからの問題の高次一般化を解くこと。
• 古典的ほぼ自己同型性の一般化として、d段階のほぼ自己同型系の概念を導入し、研究すること。
• 再帰集合とNil d Bohr⁰-集合を用いて、d段階のほぼ自己同型点およびd階の局所的近接対を特徴付けること。
• 一般化多項式による特徴付けを通じて、高次再帰、nilsystem、および力学系構造を統合すること。

提案手法

• 一般化多項式を用いてNil d Bohr⁰-集合を特徴付け、それらが次数dの一般化多項式のレベル集合として定義されることを示す。
• ゼロ密度集合のモジュロにおけるBergelson-Host-Kra定理を適用し、高次Bohr問題の逆方向を分析する。
• Furstenberg対応原理を用いて、組合せ論的再帰集合と位相的力学系を結びつける。
• d段階nilsystemの逆極限を用いて、最大のd段階nil因子およびd階の局所的近接関係を特徴付ける。
• 再帰および位相的再帰集合を用いて、d段階のほぼ自己同型系を定義し、分析する。
• Ellis半群およびコンパクトハウスドルフ系理論を用いて、d階の局所的近接対の構造を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のNil d Bohr⁰-集合は、あるシンデティック集合Sに対して、{n ∈ ℤ : S ∩ (S−n) ∩ … ∩ (S−dn) ≠ ∅}の形の集合として現れるか？
• RQ2 d段階のほぼ自己同型系は、PoincaréおよびBirkhoffのd階再帰集合のような再帰集合を用いて特徴付けられるか？
• RQ3 Nil d Bohr⁰-集合は、最小系におけるd階の局所的近接関係とどのように関係しているか？
• RQ4 一般化多項式は、高次Bohr集合を特徴付ける際に果たす役割は何か？
• RQ5 d段階のほぼ自己同型点の構造は、nil因子および再帰集合不変量によって完全に記述可能か？

主な発見

• Nil d Bohr⁰-集合は、次数dの一般化多項式のレベル集合として特徴付けられ、新たな代数的記述が得られる。
• 任意のNil d Bohr⁰-集合Aに対して、Aが{ n ∈ ℤ : S ∩ (S−n) ∩ … ∩ (S−dn) ≠ ∅ }を含むようなシンデティック集合Sが存在する。これは高次Bohr問題の一方的な方向が成立することを示す。
• 高次Bohr問題の逆方向は、ゼロ密度集合のモジュロで成り立つ。これはBergelson-Host-Kraの結果から導かれる。
• 位相空間X内の点xがd段階のほぼ自己同型であるための必要十分条件は、その軌道閉包がd段階再帰点の集合の閉包に含まれることである。
• d階の局所的近接関係は、d重再帰集合とNil d Bohr⁰-集合の共通部分集合として特徴付けられる。
• 最小系(X,T)の最大d段階nil因子はX / RP^{[d]}と同型であり、この因子はd段階のほぼ自己同型構造を完全に捉えている。