[論文レビュー] Higher order approximation for stochastic wave equation

Xing Liu, Weihua Deng|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、加法的空間時間ガウスノイズによって駆動される確率的空間分数マクロ方程式に対して、スペクトルガレルキン空間近似と修正された確率的三角関数的時間積分法を組み合わせた高次の数値スキームを提案する。追加の正則性仮定の下で、時間方向に2次の強収束率を達成し、既存の手法に比べ顕著に向上している。

ABSTRACT

The infinitesimal generator (fractional Laplacian) of a process obtained by subordinating a killed Brownian motion catches the power-law attenuation of wave propagation. This paper studies the numerical schemes for the stochastic wave equation with fractional Laplacian as the space operator, the noise term of which is an infinite dimensional Brownian motion or fractional Brownian motion (fBm). Firstly, we establish the regularity of the mild solution of the stochastic fractional wave equation. Then a spectral Galerkin method is used for the approximation in space, and the space convergence rate is improved by postprocessing the infinite dimensional Gaussian noise. In the temporal direction, when the time derivative of the mild solution is bounded in the sense of mean-squared $L^p$-norm, we propose a modified stochastic trigonometric method, getting a higher strong convergence rate than the existing results, i.e., the time convergence rate is bigger than $1$. Particularly, for time discretization, the provided method can achieve an order of $2$ at the expenses of requiring some extra regularity to the mild solution. The theoretical error estimates are confirmed by numerical experiments.

研究の動機と目的

• 空間微分作用素として分数マクロ作用素を有する確率的空間分数マクロ方程式のための高次数値スキームの開発。
• 標準的な1.0より高い時間収束率を達成するために、修正された確率的三角関数的手法を導入することによる時間収束率の向上。
• スペクトルガレルキンフレームワーク内での無限次元ガウスノイズの後処理を通じて、空間収束率の向上。
• 弱解に対する追加の正則性条件の下で、厳密な誤差評価を確立すること。
• 理論的結果の妥当性を数値実験により検証し、改善された収束率が確認されること。

提案手法

• 空間離散化には、分数マクロ作用素の固有関数展開を活用したスペクトルガレルキン法を採用する。
• ガレルキン近似の空間収束率を向上させるために、無限次元ガウスノイズに対して後処理を施す。
• 確率的マクロ方程式の構造に適合した、修正された確率的三角関数的積分法を時間離散化に設計する。
• 時間微分の弱解が平均二乗 $ L^p $-ノルムで有界である限り、時間方向に2次の強収束率を達成する。
• 分数マクロ作用素に関連するコサインおよびサイン作用素の推定を用いて、理論的誤差境界を導出する。
• 数値スキームにおける確率積分に必要な分数ブラウン運動の増分のシミュレーションには、コレスキー分解を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的空間分数マクロ方程式の数値スキームの時間収束率は、1.0を超えて向上させることができるか。
• RQ2 スペクトルガレルキン法における確率的PDEのノイズ項の後処理は、空間収束率にどのように影響を与えるか。
• RQ3 時間方向に2次の強収束率を達成するためには、弱解にどのような正則性条件が必要か。
• RQ4 分数マクロ作用素のスペクトル構造は、数値スキームの安定性および収束性にどのような影響を与えるか。
• RQ5 数値スキームにおいて、分数ブラウン運動を含む確率積分を、効率的かつ正確にシミュレートする方法は何か。

主な発見

• 提案された修正された確率的三角関数的手法により、時間方向に2次の強収束率が達成され、標準的な1.0を上回る。
• スペクトルガレルキンフレームワーク内での無限次元ガウスノイズの後処理により、空間収束率が向上する。
• 理論的誤差評価により、グローバル誤差が $ \tau^2 \times \text{正則性項} $ で有界であることが確認され、正則性項は分数ソボレフ空間における初期データを含む。
• 収束率2は、$ \frac{d}{dt}u $ が平均二乗 $ L^p $-ノルムで有界であり、かつ $ \rho > 2\beta $ を満たす場合に達成される。ここで $ \rho $ は正則性指数である。
• 数値実験により理論的誤差評価が妥当であることが検証され、空間および時間方向の期待される収束次数が確認された。
• 分数ブラウン運動の増分のシミュレーションは、fBmの自己相似性と定常増分性に基づく共分散行列のコレスキー分解により、効率的に実行された。