[論文レビュー] Higher order asymptotics of Generalized Fiducial Distribution

Abhishek Pal Majumder, Jan Hannig|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般化fiducial分布（GFD）の高次漸近理論を発展させ、fiducial被覆確率が2次頻度的正確性を達成するための条件を確立する。著者らは、fiducial分位数被覆における高次項を分析するために、縮小法を適応させ、1次および2次誤差項が消える明示的な正則性条件を導出し、1パラメータモデルにおけるGFDの頻度的補正を向上させることを可能にする。

ABSTRACT

Generalized Fiducial Inference (GFI) is motivated by R.A. Fisher's approach of obtaining posterior-like distributions when there is no prior information available for the unknown parameter. Without the use of Bayes' theorem GFI proposes a distribution on the parameter space using a technique called increasing precision asymptotics \cite{hannig2013generalized}. In this article we analyzed the regularity conditions under which the Generalized Fiducial Distribution (GFD) will be first and second order exact in a frequentist sense. We used a modification of an ingenious technique named "Shrinkage method" \cite{bickel1990decomposition}, which has been extensively used in the probability matching prior contexts, to find the higher order expansion of the frequentist coverage of Fiducial quantile. We identified when the higher order terms of one-sided coverage of Fiducial quantile will vanish and derived a workable recipe for obtaining such GFDs. These ideas are demonstrated on several examples.

研究の動機と目的

• 一般化fiducial分布（GFD）の頻度的被覆正確性を1次漸近論を超えて調査すること。
• fiducial分位数被覆における高次項が消える正則性条件を特定し、2次正確性を実現すること。
• 適切なデータ生成方程式を選択することで、GFDを構築する実用的な手法を提案すること。
• 非正則モデルにおけるfiducial推論の適用範囲を拡大するために、高次漸近的挙動を形式化すること。

提案手法

• 確率マッチング事前分布に事前に用いられた縮小法を、fiducial被覆確率の高次展開の分析に適応する。
• 1片側fiducial被覆確率の高次漸近展開を $ o(n^{-1}) $ まで導出し、フィッシャー情報量、スコア関数、および高次モーメントを含む項を組み込む。
• データ生成方程式（DGE）$ \mathbf{X} = G(\mathbf{U}, \theta) $ を用い、ここで $ \mathbf{U} $ は $ \theta $ と独立で一様分布に従うものとする。これによりGFDを定義する。
• 弱収束の議論を用い、$ \bar{\pi}(\theta) \to \delta_{\theta_0}(\theta) $ とすることで、被覆誤差項の極限表現を導出する。
• 被覆における1次および2次誤差項の明示的表現を導出し、$ I_\theta $, $ J(\theta_0, \theta) $, および $ M_\theta $（3次モーメント）を含む。
• 特定の $ I_\theta $, $ J $, および $ M_\theta $ の微分の組み合わせが微分条件を満たす場合、2次誤差項が消えることを特定し、より高次に正確なGFDの構築法を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化fiducial分布が頻度的意味で1次正確であるための正則性条件は何か？
• RQ2 fiducial被覆確率における2次誤差項が消えるのはいつか？ これにより2次頻度的正確性が達成される。
• RQ3 縮小法は、1パラメータモデルにおけるfiducial推論の高次漸近的挙動を分析するためにどのように適応可能か？
• RQ4 データ生成方程式にどのような条件が課されると、fiducial分布の頻度的補正が向上するか？
• RQ5 高次被覆誤差が消えるGFDを構築するための体系的な手法を導出できるか？

主な発見

• fiducial分位数の1次被覆誤差は $ n^{-1/2} $ のオーダーであり、その係数は $ \Delta_1(\theta_0) $ として明示的に与えられる。これはフィッシャー情報量の微分と、$ J'(\theta_0, \theta)/J(\theta_0, \theta) $ の比を含む。
• 2次被覆誤差は $ n^{-1} $ のオーダーであり、その係数 $ \Delta_2(\theta_0) $ はfiducial補正関数 $ \alpha(\theta) $ の微分、スコア関数、および $ a_n^1(\mathbf{X}, \theta) $ の期待値の項を組み合わせたものである。
• 2次誤差項が消えるのは、$ \theta = \theta_0 $ で評価した以下の式がゼロとなる場合である： \\n$$ \frac{d}{d\theta} \left[ \frac{1}{6}I^{-2}_{\theta}M_{\theta}J(\theta_0,\theta) - \frac{1}{2}I^{-1}_{\theta}J'(\theta_0,\theta) - \frac{1}{2}J(\theta_0,\theta)\frac{d}{d\theta}I^{-1}_{\theta} \right] = 0 $$
• より高次に正確なGFDを構築するための手法が導出された：データ生成方程式が上記の微分式が $ \theta_0 $ でゼロとなる条件を満たす場合、fiducial区間は2次頻度的正確性を達成する。
• 導出された正則性条件を満たすDGEを選択することで、非正則モデルでさえも、漸近的に2次正確なGFDを構築可能である。
• いくつかの例を通じて結果の有効性が示され、実際の応用において導出された条件を満たすことが可能であり、被覆性質が向上したfiducial区間が得られることを示している。