[論文レビュー] Higher-order Changhee numbers and polynomials

Dae San Kim, Taekyun Kim|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2013

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ℤₚ 上の多変数フェルミオン的 p-進積分を用いて高次の Changhee 数および多項式を導入し、その母関数を確立し、明示的公式を導出する。主な結果として、第一種スターリング数を通じて高次の Changhee 多項式と高次オイラー多項式との関係が示され、二項係数および特殊関数を含む新しい恒等式が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we consider the higher-order Changhee numbers and polynomials which are derived from the fermionic p-adic integral on Zp and give some relations between higher-order Changhee polynomials and special polynomials.

研究の動機と目的

• ℤₚ 上の多変数フェルミオン的 p-進積分を用いて、高次の Changhee 数および多項式を定義すること。
• 高次の Changhee 数および多項式の母関数を確立すること。
• 高次の Changhee 多項式とオイラー多項式やスターリング数などの特殊多項式との関係を調査すること。
• 二項係数、降べき階乗、p-進積分を含む明示的公式および恒等式を導出すること。
• 母関数の変形および積分表現を通じて、対称的および変換的恒等式を調査すること。

提案手法

• 高次の Changhee 数の第一種を、ℤₚ 上の k 重フェルミオン的 p-進積分として定義し、降べき階乗 (x₁+⋯+xₖ)ₙ を対象とする。
• 母関数 (1+t)ˣ の性質と p-進積分の性質を用いて、生成関数 ∑ₙ₌₀^∞ Chₙ⁽ᵏ⁾ tⁿ/n! = (2/(2+t))ᵏ を導出する。
• Chₙ⁽ᵏ⁾ を多項係数および標準的 Changhee 数の積の和として表現する：Chₙ⁽ᵏ⁾ = ∑_{l₁+⋯+lₖ=n} (n!/(l₁!⋯lₖ!)) Ch_{l₁}⋯Ch_{lₖ}。
• 第一種スターリング数を通じて、高次の Changhee 数と k 階オイラー数を関連付ける：Chₙ⁽ᵏ⁾ = ∑_{l=0}ⁿ S₁(n,l) Eₗ⁽ᵏ⁾。
• 降べき階乗 (x₁+⋯+xₖ+x)ₙ を用いて、第一種の高次の Changhee 多項式を定義し、母関数 (2/(2+t))ᵏ(1+t)ˣ を導出する。
• 母関数において t → eᵗ−1 と置換することで変換恒等式を確立し、第二種スターリング数を通じてオイラー多項式と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数フェルミオン的 p-進積分を用いて、ℤₚ 上の高次の Changhee 数をどのように定義できるか？
• RQ2 高次の Changhee 数および多項式の母関数は何か？また、(2/(2+t))ᵏ とどのように関係するか？
• RQ3 第一種スターリング数を通じて、高次の Changhee 数は k 階オイラー数とどのように関連するか？
• RQ4 高次の Changhee 多項式の母関数において t → eᵗ−1 と置換すると、どのような恒等式が得られるか？
• RQ5 第二種の Changhee 多項式は、x+k におけるオイラー多項式とどのように関係するか？

主な発見

• 高次の Changhee 数は Chₙ⁽ᵏ⁾ = (−1/2)ⁿ ∑_{l=0}ⁿ S₁(n,l)(k+n−1)ˡ と表され、スターリング数および降べき階乗と関連づけられる。
• 高次の Changhee 数の母関数は ∑ₙ₌₀^∞ Chₙ⁽ᵏ⁾ tⁿ/n! = (2/(2+t))ᵏ である。
• Chₙ⁽ᵏ⁾ = ∑_{l=0}ⁿ S₁(n,l) Eₗ⁽ᵏ⁾ であり、高次の Changhee 数と k 階オイラー数の直接的な関係が示される。
• k 階オイラー数は Eₘ⁽ᵏ⁾ = ∑_{n=0}ᵐ Chₙ⁽ᵏ⁾ S₂(m,n) を満たし、S₂(m,n) は第二種スターリング数である。
• 第二種の高次の Changhee 多項式は ̂Chₙ⁽ᵏ⁾(x) = ∑_{m=0}ⁿ m! ₙCₘ ₖCₘ Chₙ₋ₘ⁽ᵏ⁾ として定義され、母関数は (1+t)ᵏ(2/(2+t))ᵏ である。
• 恒等式 ̂Chₙ⁽ᵏ⁾(x) = ∑_{m=0}ⁿ m! ₙCₘ ₖCₘ Chₙ₋ₘ⁽ᵏ⁾ は、第二種多項式の新しい組合せ的表現を提供し、̂Chₙ⁽ᵏ⁾(x) = ∑_{m=1}ⁿ (binom(n−1,n−m)/m!) Chₘ⁽ᵏ⁾(−x) は双対性関係を示す。