[論文レビュー] The p-adic generalized twisted (h,q)-euler-l-function and its applications

Mehmet Cenkci|ArXiv.org|Apr 11, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 14被引用数 40

ひとこと要約

本稿では、p進不変q積分を用いてp進一般化 twisted (h,q)-Euler-l関数を構成し、p進補間に関するKimとRim（2006）で提起された未解決問題の部分的解決を図っている。主な貢献は、前進差分作用素とp進測度論を用いて、この数のKummer型合同式を導く明示的な積分表現が得られたことである。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to construct the p-adic twisted (h,q)-Euler-l-function, which interpolates the twisted generalized twisted Euler numbers attached to chi at a negative integer.

研究の動機と目的

• 原始的ディリクレ指標χに関連する一般化twisted (h,q)-Euler数を補間するp進一般化twisted (h,q)-Euler-l関数を構成すること。
• KimとRim（2006）が提起したtwisted q-Euler数のp進補間に関する部分的未解決問題を解決すること。
• p進不変q積分を用いてp進twisted (h,q)-Euler-l関数の明示的積分表現を提供すること。
• 積分表現を用いて、一般化twisted (h,q)-Euler数に対する一般化された合同式系、特にKummer型合同式を導出すること。

提案手法

• p進整数環Z_p上でのp進不変q積分を用いて、p進一般化twisted (h,q)-Euler-l関数を定義する。
• twisted測度μ_{n,ξ,q}^{(h)}(t)に関するp進Volkenborn積分を用い、X*上での積分としてl関数を構成する。
• l関数に前進差分作用素Δ_cを適用し、c ≡ 0 mod (p-1)のとき⟨t⟩_q ≡ 1 mod pZ_pであるという性質を活用して合同関係を導出する。
• E_{n,q,ξ,χ_n}^{(h)}とE_{n,q^p,ξ^p,χ_n}^{(h)}の間の関数方程式を用いて、p進スケーリングの異なるレベルにおける値を関連付ける。
• q ∈ ℂ_pで|1−q|_p < 1を仮定することで、対数級数によるq^xの存在を保証する。
• 定理3.6を適用し、l関数と一般化twisted Eulernumbersとの関係をp進積分恒等式を用いて導出し、合同式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原始的ディリクレ指標χに関連する一般化twisted (h,q)-Euler数を補間するp進一般化twisted (h,q)-Euler-l関数を構成可能か？
• RQ2 構成されたl関数はp進不変q積分を用いた明示的積分表現を有するか？
• RQ3 l関数の積分表現から導ける合同式、特にKummer型合同式は何か？
• RQ4 c ≡ 0 mod (p−1)のとき、前進差分作用素Δ_cは一般化twisted (h,q)-Euler数にどのように作用するか？
• RQ5 n ≡ n' mod (p−1)のとき、ε_{n,q,ξ,χ_n}^{(h)} ≡ ε_{n',q,ξ,χ_n'}^{(h)} mod pZ_pが成り立つ条件は何か？

主な発見

• p進一般化twisted (h,q)-Euler-l関数は、twisted p進測度に関するX*上での積分として明示的に構成され、新たなp進補間関数が得られた。
• l関数は⟨t⟩_q^n q^{(h−1)t} ξ^t dμ_{-q}(t)を含む積分表現を満たし、解析接続および合同式解析が可能になった。
• n ≥ 0およびc ≡ 0 mod (p−1)のとき、k階の前進差分Δ_c^k ε_{n,q,ξ,χ_n}^{(h)} ≡ 0 mod p^k ℤ_pが成り立ち、Kummer型合同式が確立された。
• n ≡ n' mod (p−1)のとき、一般化twisted Eulernumbersはε_{n,q,ξ,χ_n}^{(h)} ≡ ε_{n',q,ξ,χ_n'}^{(h)} mod pℤ_pを満たし、pを法として周期的であることが示された。
• 導出された合同式は、q ∈ ℂ_pで|1−q|_p < 1である条件のもとで有効であり、p進q指数関数の収束性と解析性を保証する。
• 従来の構成（例：Rim他, 2006）とは異なり、p進積分および測度論を用いた別路線を提供する。