[論文レビュー] Higher Order Convergence Rates in Theory of Homogenization II: Oscillatory Initial Data

Sunghan Kim, Ki-Ahm Lee|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、急速に振動する初期データを伴う完全非線形かつ一様な放物型初期値問題の周期的均質化において、高次の収束速度を確立する。著者らは、マクロスケールの正則性理論と指数的減衰推定を用いて、高次の初期層正規化項および内部正規化項を構築し、初期時刻付近および内部における振動的挙動を捉える漸近展開を導出する。これは、時間とともに周期性を失う正規化項を伴う完全非線形作用素に対しても成立する。

ABSTRACT

We establish higher order convergence rates in periodic homogenization of fully nonlinear uniformly parabolic Cauchy problems accompanied with rapidly oscillating initial data. Such result is new even for linear problems. Here we construct higher order initial layer and interior correctors, which describe the oscillatory behavior near the initial and interior time zone of the domain. To construct higher order correctors, we develop a regularity theory in macroscopic scales, and prove an exponential decay estimate for initial layer correctors. The higher order expansion requires an iteration process: successively correcting the initial layer, then the interior. This leads to a more complicated asymptotic expansion, as compared to the non-oscillating data case, and this complexity is present even in the linear case. A notable observation for fully nonlinear operators is that even if the given operator is space-time periodic, the interior correctors become aperiodic in the time variable as we proceed with the iteration process. Moreover, each interior corrector of higher order is paired with a space-time periodic version, and the difference between the two decays exponentially fast with time.

研究の動機と目的

• 急速に振動する初期データを伴う完全非線形かつ一様な放物型方程式の周期的均質化において、高次の収束速度を確立すること。
• 初期データが振動的である場合に生じる、初期層正規化項と内部正規化項の間の複雑な結合を考慮した、高次の正規化項の構築の挑戦に応えること。
• 問題の非線形的かつ振動的構造を扱うために、マクロスケールにおける正則性理論を開発すること。
• 初期層正規化項の指数的減衰を証明し、時間的に非周期的であるがゆえに、高次の内部正規化項が周期的対応物から指数的に速く乖離することを示すこと。
• 線形問題を超えた理論の拡張を図り、線形方程式に対しても、振動する初期条件の下では、結果が新規かつ非自明であることを示すこと。

提案手法

• 可視解フレームワークと指数的減衰推定を用いて、初期時刻付近の急速な振動を捉える初期層正規化項を構築する。
• ゆっくり変化する変数における解のマクロスケール正則性理論を発展させ、均質化極限における微分係数の成長を制御する。
• 初期層および内部効果を段階的に補正する反復スキームを導入し、正規化項間の非線形的結合を考慮する。
• 空間時間周期的であっても、非線形構造のため、高次の内部正規化項は周期的でなくなることを定義する。
• 各高次の内部正規化項を周期的バージョンとペアにし、それらの差が時間とともに指数的に減衰することを証明する。
• 複数スケール（高速：ε⁻¹x, ε⁻²t と遅速：x,t）を組み込んだ漸近展開の手法を用い、誤差推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全非線形放物型方程式の均質化において、振動する初期データを伴う場合の最良収束速度は何か？
• RQ2 初期データが急速に振動する場合に、初期層と内部層の間の複雑な結合を考慮した高次の正規化項を体系的に構築する方法は何か？
• RQ3 元の作用素が空間時間周期的であっても、完全非線形な方程式において、内部の正規化項の周期性はどのように変化するか？
• RQ4 完全非線形方程式の文脈において、初期層正規化項の指数的減衰推定を確立できるか？
• RQ5 作用素の非線形性は、線形の場合と比較して、高次の正規化項の構造および減衰特性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、振動する初期データを伴う完全非線形放物型初期値問題の解に対して、任意の m ≥ 2 に対して ε^m の収束速度を達成する高次の漸近展開を確立する。
• 初期層正規化項が構築され、時間とともに指数的に減衰することが示され、t = 0 付近の誤差を制御する上で重要である。
• 高次の内部正規化項は、元の作用素が空間時間周期的であっても、非線形構造のため時間変数に関して非周期的になる。
• 各高次の内部正規化項は周期的バージョンとペアにされ、それらの差が時間とともに指数的に減衰することが示され、誤差制御が有効に可能になる。
• この手法により、任意の x ∈ ℝⁿ および t ∈ [0,T] において、ε ≤ 1/2 のもとで、m 階の展開に対する定量的誤差推定が ε のオーダーで得られる。
• この構築法は線形方程式および完全非線形方程式の両方に対して有効であり、振動する初期データの下では線形の場合でも、結果は新規かつ非自明である。